Analysis Beispiele

$\int_{x^{2}}^{x^{6}} {(2 t - 1)}^{3} d t$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} {(2 t)}^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $2 t$ an.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 2^{3} t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 3 {(2 t)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.3

Wende die Produktregel auf $2 t$ an.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 3 (2^{2} t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 3 (4 t^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} + 12 t^{2} \cdot - 1 + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 3 (2 t) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t + {(- 1)}^{3} d t]$

Schritt 2.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Schritt 3

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $x^{2}$ und $x^{6}$ ist.

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t + \int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x^{2}}^{c} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Schritt 5

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x^{2}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Schritt 6

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{x^{2}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t]$

Schritt 8

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{x^{6}} 8 t^{3} - 12 t^{2} + 6 t - 1 d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$2 x (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + \frac{d}{d x} [x^{6}] (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 9.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$2 x (- (8 {(x^{2})}^{3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 9.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x (- (8 x^{2 \cdot 3} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 x (- (8 x^{6} - 12 {(x^{2})}^{2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x (- (8 x^{6} - 12 x^{2 \cdot 2} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x (- (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1)) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 {(x^{6})}^{3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{3}$ .

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Schritt 9.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{6 \cdot 3} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 {(x^{6})}^{2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{2}$ .

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Schritt 9.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 x^{6 \cdot 2} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 9.2.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- 2 x (8 x^{6} - 12 x^{4} + 6 x^{2} - 1) + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 x^{12} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x (8 x^{6}) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18} - 12 x^{12} + 6 x^{6} - 1)$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x (8 x^{6}) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3

Vereine die Terme

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$- 16 x \cdot x^{6} - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.2.1

Bewege $x^{6}$ .

$- 16 (x^{6} x) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.2.2

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $x$ .

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Schritt 10.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 (x^{6} x^{1}) - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{6 + 1} - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.2.3

Addiere $6$ und $1$ .

$- 16 x^{7} - 2 x (- 12 x^{4}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 2$ .

$- 16 x^{7} + 24 x \cdot x^{4} - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.4

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.4.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 16 x^{7} + 24 (x^{4} x) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.4.2

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

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Schritt 10.3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 (x^{4} x^{1}) - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{7} + 24 x^{4 + 1} - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.4.3

Addiere $4$ und $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 2 x (6 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 10.3.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} - 2 x \cdot - 1 + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 6 x^{5} (8 x^{18}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.8

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{5} x^{18} + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.9

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{18}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.9.1

Bewege $x^{18}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 (x^{18} x^{5}) + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{18 + 5} + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.9.3

Addiere $18$ und $5$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} + 6 x^{5} (- 12 x^{12}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.10

Mutltipliziere $- 12$ mit $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{5} x^{12} + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.11

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{12}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.11.1

Bewege $x^{12}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 (x^{12} x^{5}) + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.11.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{12 + 5} + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.11.3

Addiere $12$ und $5$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 6 x^{5} (6 x^{6}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.12

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{5} x^{6} + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.13

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{6}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.13.1

Bewege $x^{6}$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 (x^{6} x^{5}) + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{6 + 5} + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.13.3

Addiere $6$ und $5$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} + 6 x^{5} \cdot - 1$

Schritt 10.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 16 x^{7} + 24 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} - 6 x^{5}$

Schritt 10.3.15

Subtrahiere $6 x^{5}$ von $24 x^{5}$ .

$- 16 x^{7} - 12 x^{3} + 2 x + 48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} + 18 x^{5}$

Schritt 10.4

Stelle die Terme um.

$48 x^{23} - 72 x^{17} + 36 x^{11} - 16 x^{7} + 18 x^{5} - 12 x^{3} + 2 x$