Analysis Beispiele

$f (u) = \sqrt{u} (5 - u^{6})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ gleich $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ist mit $f (u) = \sqrt{u}$ und $g (u) = 5 - u^{6}$ .

$\sqrt{u} \frac{d}{d u} [5 - u^{6}] + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - u^{6}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

$\sqrt{u} (\frac{d}{d u} [5] + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$\sqrt{u} (0 + \frac{d}{d u} [- u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d u} [- u^{6}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- u^{6}$ nach $u$ gleich $- \frac{d}{d u} [u^{6}]$ .

$\sqrt{u} (0 - \frac{d}{d u} [u^{6}]) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\sqrt{u} (0 - (6 u^{5})) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\sqrt{u} (0 - 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $6 u^{5}$ von $0$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [\sqrt{u}]$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + (5 - u^{6}) \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{u} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2

Vereine die Terme

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Schritt 11.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$u^{\frac{1}{2}} (- 6 u^{5}) + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2

Multipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $u^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.2.1

Bewege $u^{5}$ .

$u^{5} u^{\frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u^{5 + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$u^{5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$u^{\frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$u^{\frac{5 \cdot 2 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.2.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$u^{\frac{10 + 1}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.2.6.2

Addiere $10$ und $1$ .

$u^{\frac{11}{2}} \cdot - 6 + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.3

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $u^{\frac{11}{2}}$ .

$- 6 \cdot u^{\frac{11}{2}} + 5 \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - u^{6} \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.5

Kombiniere $\frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}}$ und $u^{6}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.6

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11.2.7

Multipliziere $u^{6}$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11.2.7.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11.2.7.3

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 11.2.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{6 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

Schritt 11.2.7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.7.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{12 - 1}{2}}}{2}$

Schritt 11.2.7.5.2

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2}$

Schritt 11.2.8

Um $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.9

Kombiniere $- 6 u^{\frac{11}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 u^{\frac{11}{2}} \cdot 2 - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{- 12 u^{\frac{11}{2}} - u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.12

Subtrahiere $u^{\frac{11}{2}}$ von $- 12 u^{\frac{11}{2}}$ .

$\frac{- 13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2} + \frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5}{2 u^{\frac{1}{2}}} - \frac{13 u^{\frac{11}{2}}}{2}$