Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Löse $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.3.2

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{1}{x^{3}}$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{1}{x^{3}}$ mit $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Schritt 1.2.3.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} = 1$

Schritt 1.2.3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Schritt 1.2.3.3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 1.2.3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 1.2.3.3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 1.2.3.3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{1}$

Schritt 1.3.2

Setze $1$ für $x$ in $y = \frac{1}{1}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{1}$

Schritt 1.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$y = 1$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3.6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Schritt 3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Schritt 3.8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.8.2.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $1$ und $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Schritt 3.8.2.2

Berechne $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $1$ und $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.8.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.8.2.3.3

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.8.2.3.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 3.8.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.8.2.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 3.8.2.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Schritt 3.8.2.3.6

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Schritt 3.8.2.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 3.8.2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Schritt 3.8.2.3.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Schritt 3.8.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 3.8.2.3.10.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Schritt 3.8.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.2.3.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.8.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Schritt 3.8.2.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Schritt 3.8.2.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Schritt 3.8.2.3.12

Addiere $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ und $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Schritt 3.8.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Schritt 3.8.4

Vereinfache.

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Schritt 3.8.4.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Schritt 3.8.4.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Schritt 3.8.4.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$\ln (1)$

Schritt 3.9

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$0$

Schritt 4