Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 4 x^{2}$ , $y = x^{2} - 4$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{4} - 4 x^{2} = x^{2} - 4$

Schritt 1.2

Löse $x^{4} - 4 x^{2} = x^{2} - 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} = - 4$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

$u = x^{2} + y = x^{2} - 4$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $u^{2} - 5 u + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1 + y = x^{2} - 4$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 4) (u - 1) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0 + y = x^{2} - 4$

Schritt 1.2.6

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 1.2.7

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 4) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 4, 1$

Schritt 1.2.9

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 4$

$x^{2} = 1 + y = x^{2} - 4$

Schritt 1.2.10

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 4$

Schritt 1.2.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 1.2.11.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 1.2.11.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 1.2.11.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 1.2.11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.11.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 1.2.11.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 1.2.11.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 1.2.12

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 1.2.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.13.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1$

Schritt 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.2.13.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 1.2.13.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.13.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 1.2.13.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 1.2.13.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 1.2.14

Die Lösung von $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ist $x = 2, - 2, 1, - 1$ .

$x = 2, - 2, 1, - 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 2$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$y = {(2)}^{2} - 4$

Schritt 1.3.2

Setze $2$ für $x$ in $y = {(2)}^{2} - 4$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2^{2} - 4$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $2^{2} - 4$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 - 4$

Schritt 1.3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = {(1)}^{2} - 4$

Schritt 1.4.2

Setze $1$ für $x$ in $y = {(1)}^{2} - 4$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 1^{2} - 4$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache $1^{2} - 4$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 - 4$

Schritt 1.4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y = - 3$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(2, 0)$

$(- 2, 0)$

$(1, - 3)$

$(- 1, - 3)$

$(2, 0)$

$(- 2, 0)$

$(1, - 3)$

$(- 1, - 3)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 4 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} - 4 x^{2} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- 2$ und $- 1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 4 - (x^{4} - 4 x^{2}) d x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 - x^{4} - (- 4 x^{2})$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 4 - x^{4} + 4 x^{2}$

$\int_{- 2}^{- 1} x^{2} - 4 - x^{4} + 4 x^{2} d x$

Schritt 3.3

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} - 4 - x^{4} d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 2}^{- 1} 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x$

Schritt 3.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x$

Schritt 3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x$

Schritt 3.8

Wende die Konstantenregel an.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1} + \int_{- 2}^{- 1} - x^{4} d x$

Schritt 3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1} - \int_{- 2}^{- 1} x^{4} d x$

Schritt 3.10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 3.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.11.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 3.11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.11.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$5 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 3.11.2.2

Berechne $- 4 x$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{- 1})$

Schritt 3.11.2.3

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $- 1$ und $- 2$ .

$5 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.11.2.4.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$5 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$5 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $1$ .

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{- 1 + 8}{3} - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.8

Addiere $- 1$ und $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.9

Kombiniere $5$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.10

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{35}{3} - 4 \cdot - 1 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{35}{3} + 4 + 4 \cdot - 2 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.12

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{35}{3} + 4 - 8 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.13

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{35}{3} - 4 - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.14

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.15

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35 - 4 \cdot 3}{3} - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.2.4.17.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{35 - 12}{3} - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.17.2

Subtrahiere $12$ von $35$ .

$\frac{23}{3} - ((\frac{{(- 1)}^{5}}{5}) - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.18

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{23}{3} - (\frac{- 1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{23}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{{(- 2)}^{5}}{5})$

Schritt 3.11.2.4.20

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{23}{3} - (- \frac{1}{5} - \frac{- 32}{5})$

Schritt 3.11.2.4.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{23}{3} - (- \frac{1}{5} - - \frac{32}{5})$

Schritt 3.11.2.4.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{23}{3} - (- \frac{1}{5} + 1 (\frac{32}{5}))$

Schritt 3.11.2.4.23

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $1$ .

$\frac{23}{3} - (- \frac{1}{5} + \frac{32}{5})$

Schritt 3.11.2.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{23}{3} - \frac{- 1 + 32}{5}$

Schritt 3.11.2.4.25

Addiere $- 1$ und $32$ .

$\frac{23}{3} - \frac{31}{5}$

Schritt 3.11.2.4.26

Um $\frac{23}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{23}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5}$

Schritt 3.11.2.4.27

Um $- \frac{31}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{23}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.11.2.4.28

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.11.2.4.28.1

Mutltipliziere $\frac{23}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{23 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.11.2.4.28.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{23 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.11.2.4.28.3

Mutltipliziere $\frac{31}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{23 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Schritt 3.11.2.4.28.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{23 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15}$

Schritt 3.11.2.4.29

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{23 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15}$

Schritt 3.11.2.4.30

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.2.4.30.1

Mutltipliziere $23$ mit $5$ .

$\frac{115 - 31 \cdot 3}{15}$

Schritt 3.11.2.4.30.2

Mutltipliziere $- 31$ mit $3$ .

$\frac{115 - 93}{15}$

Schritt 3.11.2.4.30.3

Subtrahiere $93$ von $115$ .

$\frac{22}{15}$

Schritt 4

$A r e a = \int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} d x - \int_{- 1}^{1} x^{2} - 4 d x$

Schritt 5

Integriere, um die Fläche zwischen $- 1$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} - (x^{2} - 4) d x$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} - - 4$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 4 x^{2} - x^{2} + 4 d x$

Schritt 5.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} x^{4} - 5 x^{2} + 4 d x$

Schritt 5.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Schritt 5.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Schritt 5.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Schritt 5.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Schritt 5.9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Schritt 5.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.10.1

Kombiniere $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1}$ und $4 x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + 4 x]_{- 1}^{1} - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Schritt 5.10.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.10.2.1

Berechne $\frac{1}{5} x^{5} + 4 x$ bei $1$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1})$

Schritt 5.10.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $- 1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + 4 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.10.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} + 4 - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.4

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 4 \cdot 5}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{1 + 20}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.7.2

Addiere $1$ und $20$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.8

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1 + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.9

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (\frac{- 1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + 4 \cdot - 1) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.12

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} - 4 \cdot \frac{5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.13

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 4 \cdot 5}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 4 \cdot 5}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.15

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.10.2.3.15.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 1 - 20}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.15.2

Subtrahiere $20$ von $- 1$ .

$\frac{21}{5} - \frac{- 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{21}{5} - - \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{21}{5} + 1 (\frac{21}{5}) - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.18

Mutltipliziere $\frac{21}{5}$ mit $1$ .

$\frac{21}{5} + \frac{21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21 + 21}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.20

Addiere $21$ und $21$ .

$\frac{42}{5} - 5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Schritt 5.10.2.3.22

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3})$

Schritt 5.10.2.3.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3})$

Schritt 5.10.2.3.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Schritt 5.10.2.3.25

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3})$

Schritt 5.10.2.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{42}{5} - 5 \frac{1 + 1}{3}$

Schritt 5.10.2.3.27

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{42}{5} - 5 (\frac{2}{3})$

Schritt 5.10.2.3.28

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 5 \cdot 2}{3}$

Schritt 5.10.2.3.29

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{42}{5} + \frac{- 10}{3}$

Schritt 5.10.2.3.30

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{42}{5} - \frac{10}{3}$

Schritt 5.10.2.3.31

Um $\frac{42}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Schritt 5.10.2.3.32

Um $- \frac{10}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 5.10.2.3.33

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.10.2.3.33.1

Mutltipliziere $\frac{42}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 5.10.2.3.33.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 5.10.2.3.33.3

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Schritt 5.10.2.3.33.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{42 \cdot 3}{15} - \frac{10 \cdot 5}{15}$

Schritt 5.10.2.3.34

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{42 \cdot 3 - 10 \cdot 5}{15}$

Schritt 5.10.2.3.35

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.10.2.3.35.1

Mutltipliziere $42$ mit $3$ .

$\frac{126 - 10 \cdot 5}{15}$

Schritt 5.10.2.3.35.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $5$ .

$\frac{126 - 50}{15}$

Schritt 5.10.2.3.35.3

Subtrahiere $50$ von $126$ .

$\frac{76}{15}$

Schritt 6

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} - 4 d x - \int_{1}^{2} x^{4} - 4 x^{2} d x$

Schritt 7

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{2} x^{2} - 4 - (x^{4} - 4 x^{2}) d x$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 - x^{4} - (- 4 x^{2})$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 4 - x^{4} + 4 x^{2}$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 4 - x^{4} + 4 x^{2} d x$

Schritt 7.3

Addiere $x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} - 4 - x^{4} d x$

Schritt 7.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 5 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x$

Schritt 7.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x$

Schritt 7.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x$

Schritt 7.7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 d x + \int_{1}^{2} - x^{4} d x$

Schritt 7.8

Wende die Konstantenregel an.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - x^{4} d x$

Schritt 7.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{4} d x$

Schritt 7.10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{2})$

Schritt 7.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.11.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - 4 x]_{1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2})$

Schritt 7.11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.11.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $1$ .

$5 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{2} - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2})$

Schritt 7.11.2.2

Berechne $- 4 x$ bei $2$ und $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{1}^{2})$

Schritt 7.11.2.3

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $2$ und $1$ .

$5 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4

Vereinfache.

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Schritt 7.11.2.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{8 - 1}{3} - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$5 (\frac{7}{3}) - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.5

Kombiniere $5$ und $\frac{7}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{3} - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{35}{3} - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{35}{3} - 8 + 4 \cdot 1 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{35}{3} - 8 + 4 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.9

Addiere $- 8$ und $4$ .

$\frac{35}{3} - 4 - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.10

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.11

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{35 - 4 \cdot 3}{3} - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.11.2.4.13.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{35 - 12}{3} - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.13.2

Subtrahiere $12$ von $35$ .

$\frac{23}{3} - ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.14

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{23}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Schritt 7.11.2.4.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{23}{3} - (\frac{32}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 7.11.2.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{23}{3} - \frac{32 - 1}{5}$

Schritt 7.11.2.4.17

Subtrahiere $1$ von $32$ .

$\frac{23}{3} - \frac{31}{5}$

Schritt 7.11.2.4.18

Um $\frac{23}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{23}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5}$

Schritt 7.11.2.4.19

Um $- \frac{31}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{23}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.11.2.4.20

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.11.2.4.20.1

Mutltipliziere $\frac{23}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{23 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.11.2.4.20.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{23 \cdot 5}{15} - \frac{31}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 7.11.2.4.20.3

Mutltipliziere $\frac{31}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{23 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Schritt 7.11.2.4.20.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{23 \cdot 5}{15} - \frac{31 \cdot 3}{15}$

Schritt 7.11.2.4.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{23 \cdot 5 - 31 \cdot 3}{15}$

Schritt 7.11.2.4.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.11.2.4.22.1

Mutltipliziere $23$ mit $5$ .

$\frac{115 - 31 \cdot 3}{15}$

Schritt 7.11.2.4.22.2

Mutltipliziere $- 31$ mit $3$ .

$\frac{115 - 93}{15}$

Schritt 7.11.2.4.22.3

Subtrahiere $93$ von $115$ .

$\frac{22}{15}$

Schritt 8

Addiere die Flächen $\frac{22}{15} + \frac{76}{15} + \frac{22}{15}$ .

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Schritt 8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{22 + 76 + 22}{15}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.1

Addiere $22$ und $76$ .

$\frac{98 + 22}{15}$

Schritt 8.2.2

Addiere $98$ und $22$ .

$\frac{120}{15}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $120$ durch $15$ .

$8$

Schritt 9