Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} (x - 1) \ln (x - 1)$

Schritt 1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 1^{+}} (x - 1) \ln (x - 1)$

Schritt 2

Schreibe $(x - 1) \ln (x - 1)$ als $\frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$ um.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Schritt 3.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\ln (x - 1)}}$

Schritt 3.1.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x - 1}{\frac{1}{\ln (x - 1)}} = lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\ln (x - 1)}]}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $\frac{1}{\ln (x - 1)}$ als $\ln^{- 1} (x - 1)$ um.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln^{- 1} (x - 1)]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \ln (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Schritt 3.3.7.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)]}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Schritt 3.3.8.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Schritt 3.3.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \ln^{- 2} (x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $\frac{1}{x - 1}$ und $\ln^{- 2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{\ln^{- 2} (x - 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.10

Bringe $\ln^{- 2} (x - 1)$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \frac{d}{d x} [x - 1]}$

Schritt 3.3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Schritt 3.3.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} (1 + 0)}$

Schritt 3.3.14

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)} \cdot 1}$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}}$

Schritt 3.3.16

Stelle die Faktoren in $- \frac{1}{(x - 1) \ln^{2} (x - 1)}$ um.

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{- \frac{1}{\ln^{2} (x - 1) (x - 1)}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 1^{+}} 1 (- (\ln^{2} (x - 1) (x - 1)))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) (x - 1))$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1) \cdot - 1)$

Schritt 3.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln^{2} (x - 1)$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - 1 \cdot \ln^{2} (x - 1))$

Schritt 3.8

Schreibe $- 1 \ln^{2} (x - 1)$ als $- \ln^{2} (x - 1)$ um.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x - \ln^{2} (x - 1))$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 1^{+}} - (\ln^{2} (x - 1) x) - - \ln^{2} (x - 1)$

Schritt 3.10

Multipliziere $- - \ln^{2} (x - 1)$ .

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + 1 \ln^{2} (x - 1)$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\ln^{2} (x - 1)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} - \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$

Schritt 3.11

Stelle die Faktoren in $- \ln^{2} (x - 1) x + \ln^{2} (x - 1)$ um.

$lim_{x \to 1^{+}} - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$

Schritt 4

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $1$ annähert.

$\begin{array}{c} x & - x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1) \\ 1.1 & - 0.53018981 \\ 1.01 & - 0.21207592 \\ 1.001 & - 0.04771708 \\ 1.0001 & - 0.00848303 \\ 1.00001 & - 0.00132547 \\ 1.000001 & - 0.00019086 \\ 1.0000001 & - 0.00002597 \end{array}$

Schritt 5

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $1$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $- x \ln^{2} (x - 1) + \ln^{2} (x - 1)$ für $x$ gegen $1$ gleich $0$ .

$0$