Analysis Beispiele

$\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 4$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 4) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (x^{2} + 1) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - (3 x - 4) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} + 1) - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 4) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} - 2 \cdot (- 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 3 - 6 x^{2} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.3.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 3 = - 9$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 1.1.3.6.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 8 (x) + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Schreibe $8$ um als $- 1$ plus $9$

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 9) x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 1 x + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.3.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f' (x) = \frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 9 x + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f' (x) = \frac{x (- 3 x - 1) - 3 (- 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(- 3 x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f' (x) = \frac{(- (3 x) - 1 \cdot 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.10

Schreibe $- (3 x + 1)$ als $- 1 (3 x + 1)$ um.

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{(3 x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(3 x + 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 2.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{3 x - 4}{x^{2} + 1}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$\frac{3 (- \frac{1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\frac{- 1}{3}) - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 - 4}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$\frac{- 5}{{(- \frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{3}$ an.

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{- 5}{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 5}{1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{- 5}{\frac{1^{2}}{3^{2}} + 1}$

Schritt 4.1.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 5}{\frac{1}{3^{2}} + 1}$

Schritt 4.1.2.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + 1}$

Schritt 4.1.2.2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5}{\frac{1}{9} + \frac{9}{9}}$

Schritt 4.1.2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5}{\frac{1 + 9}{9}}$

Schritt 4.1.2.2.8

Addiere $1$ und $9$ .

$\frac{- 5}{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 5 (\frac{9}{10})$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$5 (- 1) \frac{9}{10}$

Schritt 4.1.2.4.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot - 1 \frac{9}{5 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{3 (3) - 4}{{(3)}^{2} + 1}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 - 4}{3^{2} + 1}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\frac{5}{3^{2} + 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{5}{9 + 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $9$ und $1$ .

$\frac{5}{10}$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 4.2.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1)}{10}$

Schritt 4.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{1}{3}, - \frac{9}{2}), (3, \frac{1}{2})$

Schritt 5