Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.1.3.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Schritt 1.1.3.9

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Schritt 2.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{2}}$ , der in jedem Term vorkommt.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Schritt 2.3

Ersetze $x^{\frac{1}{2}}$ durch $u$ .

$\frac{3 (u)}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Schritt 2.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1

Multipliziere $3$ mit $u$ .

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Schritt 2.4.1.2

Entferne die Klammern.

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$

Schritt 2.4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2, 2 u^{3}, 1$

Schritt 2.4.2.2

Since $2, 2 u^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}$ .

Schritt 2.4.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 2.4.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4.2.6

Das kgV von $2, 2, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 2.4.2.7

Die Teiler von $u^{3}$ sind $u \cdot u \cdot u$ , was $u$ $3$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ tritt $3$ -mal auf.

Schritt 2.4.2.8

Das kgV von $u^{3}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$u \cdot u \cdot u$

Schritt 2.4.2.9

Vereinfache $u \cdot u \cdot u$ .

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Schritt 2.4.2.9.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Schritt 2.4.2.9.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.9.2.1

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $u$ .

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Schritt 2.4.2.9.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Schritt 2.4.2.9.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$u^{2 + 1}$

Schritt 2.4.2.9.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$u^{3}$

Schritt 2.4.2.10

Das kgV von $2, 2 u^{3}, 1$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 u^{3}$

Schritt 2.4.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ mit $2 u^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ mit $2 u^{3}$ .

$\frac{3 u}{2} (2 u^{3}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 u \cdot u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.3

Multipliziere $u$ mit $u^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.2.1.3.1

Bewege $u^{3}$ .

$3 (u^{3} u) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $u$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.3.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$3 (u^{3} u^{1}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 u^{3 + 1} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.3.3

Addiere $3$ und $1$ .

$3 u^{4} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 u^{3}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15}{2 u^{3}}$ in den Zähler.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$3 u^{4} - 15 = 0 (2 u^{3})$

Schritt 2.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.3.1

Multipliziere $0 (2 u^{3})$ .

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Schritt 2.4.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$3 u^{4} - 15 = 0 u^{3}$

Schritt 2.4.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $u^{3}$ .

$3 u^{4} - 15 = 0$

Schritt 2.4.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u^{4} = 15$

Schritt 2.4.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u^{4} = 15$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u^{4} = 15$ durch $3$ .

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Schritt 2.4.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Schritt 2.4.4.2.2.1.2

Dividiere $u^{4}$ durch $1$ .

$u^{4} = \frac{15}{3}$

Schritt 2.4.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.2.3.1

Dividiere $15$ durch $3$ .

$u^{4} = 5$

Schritt 2.4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt[4]{5}$

Schritt 2.4.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \sqrt[4]{5}$

Schritt 2.4.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \sqrt[4]{5}$

Schritt 2.4.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Schritt 2.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Schritt 2.6

Löse nach $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}$ auf für $x$ .

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Schritt 2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Schritt 2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Schritt 2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Schritt 2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.2.1

Schreibe ${\sqrt[4]{5}}^{2}$ als $\sqrt{5}$ um.

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Schritt 2.6.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{5}$ als $5^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$x = {(5^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Schritt 2.6.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$x = 5^{\frac{2}{4}}$

Schritt 2.6.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.6.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = 5^{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 2.6.2.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.6.2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.6.2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 5^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.6.2.2.1.5

Schreibe $5^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{5}$ um.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 2.7

Liste alle Lösungen auf.

$x = \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 3.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Schritt 3.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Schritt 3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 3.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 3.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 4

Werte $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \sqrt{5}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{5}$ .

${(\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.1.2

Entferne die Klammern.

${\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt{5}, {\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}})$

Schritt 5