Analysis Beispiele

$r = 4 \cot (θ) \csc (θ)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $4 \cot (θ) \csc (θ)$ .

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$r = 4 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \csc (θ)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)} \csc (θ)$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $\frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ mit $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Schritt 1.1.4.2

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Schritt 1.1.4.3

Potenziere $\sin (θ)$ mit $1$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Schritt 1.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \frac{4 \cos (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 2

Da $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ ist, ersetze $\sin (θ)$ durch $\frac{y}{r}$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Schritt 3

Da $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ ist, ersetze $\cos (θ)$ durch $\frac{x}{r}$ .

$r = \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere beide Seiten mit $r$ .

$r \cdot r = r \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} = r \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $r \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Kombiniere $4$ und $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r \frac{\frac{4 x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Schritt 4.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{r}$ an.

$r^{2} = r \frac{\frac{4 x}{r}}{\frac{y^{2}}{r^{2}}}$

Schritt 4.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r^{2} = r (\frac{4 x}{r} \cdot \frac{r^{2}}{y^{2}})$

Schritt 4.3.1.4

Kombinieren.

$r^{2} = r \frac{4 x r^{2}}{r y^{2}}$

Schritt 4.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 4.3.1.5.1

Faktorisiere $r$ aus $r y^{2}$ heraus.

$r^{2} = r \frac{4 x r^{2}}{r (y^{2})}$

Schritt 4.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r^{2} = r \frac{4 x r^{2}}{r y^{2}}$

Schritt 4.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$r^{2} = \frac{4 x r^{2}}{y^{2}}$

Schritt 5

Da $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ ist, ersetze $r^{2}$ durch $x^{2} + y^{2}$ und $r$ durch $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{4 x (x^{2} + y^{2})}{y^{2}}$