Analysis Beispiele

$y = 2 x - \ln (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 x - \ln (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = 2 x - \ln (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \ln (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.1.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.1.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Schritt 2.1.3.6

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $2$ .

$2 - \frac{2}{2 x}$

Schritt 2.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 - \frac{2}{2 x}$

Schritt 2.1.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$2 - \frac{1}{x}$

Schritt 2.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 2$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $\frac{1}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 3.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte