Analysis Beispiele

$y = e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = e^{- 2 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Stelle die Faktoren von $e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)$ um.

$f' (x) = - 4 e^{- 2 x^{2}} x$

Schritt 2.1.3.2

Stelle die Faktoren in $- 4 e^{- 2 x^{2}} x$ um.

$f' (x) = - 4 x e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x e^{- 2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- 2 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{- 2 x^{2}})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.4

Differenziere.

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.8.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1)$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $e^{- 2 x^{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}})$

Schritt 2.2.11

Vereinfache.

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Schritt 2.2.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}})) - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 2.2.11.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 2.2.11.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 16 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 2.2.11.4

Stelle die Faktoren in $16 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ um.

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

$16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4 e^{- 2 x^{2}}$ aus $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $4 e^{- 2 x^{2}}$ aus $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}}$ heraus.

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $4 e^{- 2 x^{2}}$ aus $- 4 e^{- 2 x^{2}}$ heraus.

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) + 4 e^{- 2 x^{2}} (- 1) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $4 e^{- 2 x^{2}}$ aus $4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) + 4 e^{- 2 x^{2}} (- 1)$ heraus.

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.2.2

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$4 e^{- 2 x^{2}} ({(2 x)}^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$4 e^{- 2 x^{2}} ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0$

Schritt 3.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 e^{- 2 x^{2}} (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{- 2 x^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $e^{- 2 x^{2}}$ gleich $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{- 2 x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 2 x^{2}}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- 2 x^{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.6

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 e^{- 2 x^{2}} (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Schritt 4.1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.1.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.1.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.1.2.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.3

Ersetze $\frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Schritt 4.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.2.3

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ in $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = 16 {(- 0.6)}^{2} e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.6$ mit $2$ .

$f'' (- 0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 0.6$ mit $2$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.6

Kombiniere $5.76$ und $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.7

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.8

Potenziere $2.71828182$ mit $0.72$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.9

Dividiere $5.76$ durch $2.05443321$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.10

Potenziere $- 0.6$ mit $2$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Schritt 6.2.1.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Schritt 6.2.1.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Schritt 6.2.1.13

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Schritt 6.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $\frac{4}{e^{0.72}}$ von $2.80369299$ .

$f'' (- 0.6) = 0.85668397$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.85668397$ .

$0.85668397$

Schritt 6.3

Bei $- 0.6$ ist die zweite Ableitung $0.85668397$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \frac{1}{2})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 16 {(0)}^{2} e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 16 \cdot (0 e^{- 2 {(0)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 \cdot 0}$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{0}$

Schritt 7.2.1.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 \cdot 1$

Schritt 7.2.1.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 7.3

Bei $0$ , die zweite Ableitung ist $- 4$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.6$ .

$f'' (0.6) = 16 {(0.6)}^{2} e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.6$ mit $2$ .

$f'' (0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.6$ mit $2$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Kombiniere $5.76$ und $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Potenziere $2.71828182$ mit $0.72$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Dividiere $5.76$ durch $2.05443321$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Potenziere $0.6$ mit $2$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Schritt 8.2.1.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $0.36$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Schritt 8.2.1.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Schritt 8.2.1.13

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Schritt 8.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $\frac{4}{e^{0.72}}$ von $2.80369299$ .

$f'' (0.6) = 0.85668397$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.85668397$ .

$0.85668397$

Schritt 8.3

Bei $0.6$ ist die zweite Ableitung $0.85668397$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 10