Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 243$ .

$\frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 243$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 243) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 243$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $243$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $243$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$\frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 2.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 2.6.3.2.2

Addiere $486 x$ und $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $486$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ nach $x$ gleich $486 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 486 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}})$

Schritt 3.2

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}})$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 243)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 243$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 (x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 243$ aus ${(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 243$ aus ${(x^{2} + 243)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 243$ aus $- 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ heraus.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 243$ aus $(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 243]))$ heraus.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 243$ aus ${(x^{2} + 243)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 243$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.9

Da $243$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $243$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Schritt 3.16

Kombiniere $486$ und $\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17

Vereinfache.

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Schritt 3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2}) + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $486$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.2.2

Mutltipliziere $486$ mit $243$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.17.3.1

Faktorisiere $1458$ aus $- 1458 x^{2} + 118098$ heraus.

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Schritt 3.17.3.1.1

Faktorisiere $1458$ aus $- 1458 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.3.1.2

Faktorisiere $1458$ aus $118098$ heraus.

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 1458 (81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.3.1.3

Faktorisiere $1458$ aus $1458 (- x^{2}) + 1458 (81)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 9^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.3.3

Stelle $- x^{2}$ und $9^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{1458 (9^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 3.17.3.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9$ und $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 243$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 243) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 243$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.5

Da $243$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $243$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $243$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 5.1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.1.6.3.2.2

Addiere $486 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$486 x = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $486 x = 0$ durch $486$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $486 x = 0$ durch $486$ .

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $486$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{486}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividiere $0$ durch $486$ .

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1458 (9 + 0) (9 + 0)}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $9 + 0$ mit $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} (9 + 0))}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.3

Potenziere $9 + 0$ mit $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} {(9 + 0)}^{1})}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{1458 \cdot 9^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.2.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0 + 243)}^{3}}$

Schritt 10.3.2

Addiere $0$ und $243$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{243^{3}}$

Schritt 10.3.3

Potenziere $243$ mit $3$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{14348907}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $1458$ mit $81$ .

$\frac{118098}{14348907}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $118098$ und $14348907$ .

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Schritt 10.4.2.1

Faktorisiere $59049$ aus $118098$ heraus.

$\frac{59049 (2)}{14348907}$

Schritt 10.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.2.2.1

Faktorisiere $59049$ aus $14348907$ heraus.

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Schritt 10.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Schritt 10.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{243}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 243}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 243}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 243}$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $0$ und $243$ .

$f (0) = \frac{0}{243}$

Schritt 12.2.3

Dividiere $0$ durch $243$ .

$f (0) = 0$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14