Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x ((x + 5) (x + 5)))$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x (x + 5) + 5 (x + 5)))$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)))$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5))$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25))$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x (x^{2} + 10 x + 25))$

Schritt 1.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x (x^{2} + 10 x + 25)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 10 x + 25))$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 10 x + 25$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (x^{2} + 10 x + 25) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6

Differenziere.

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Schritt 1.1.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 10 x + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6.5

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6.6

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6.7

Addiere $2 x + 10$ und $0$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 1.1.6.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1)$

Schritt 1.1.6.9

Mutltipliziere $x^{2} + 10 x + 25$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (x (2 x + 10) + x^{2} + 10 x + 25)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x (2 x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25)$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 3 (x (2 x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.7.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (2 (x \cdot x)) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = 3 (2 x^{2}) + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (x \cdot 10) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.6

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (10 \cdot x) + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.7

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 30 x + 3 x^{2} + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.8

Addiere $6 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 3 (10 x) + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.9

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 30 x + 30 x + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.10

Addiere $30 x$ und $30 x$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 3 \cdot 25$

Schritt 1.1.7.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + 60 x + 75$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 60 x + 75$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [75]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (60 x) + \frac{d}{d x} (75)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $60 x$ nach $x$ gleich $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (75)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (75)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 + \frac{d}{d x} (75)$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.4.1

Da $75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $75$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 60 + 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $18 x + 60$ und $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 60$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $18 x + 60$ .

$18 x + 60$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $18 x + 60 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$18 x + 60 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $60$ von beiden Seiten der Gleichung.

$18 x = - 60$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $18 x = - 60$ durch $18$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $18 x = - 60$ durch $18$ .

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18 x}{18} = \frac{- 60}{18}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 60}{18}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 60$ und $18$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 60$ heraus.

$x = \frac{6 (- 10)}{18}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{6 \cdot - 10}{6 \cdot 3}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 10}{3}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{10}{3}$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- \frac{10}{3}$ in $f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{10}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (- \frac{10}{3}) {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10}{3}$ in den Zähler.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{10}{3}) = 3 (\frac{- 10}{3}) \cdot {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {((- \frac{10}{3}) + 5)}^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(- \frac{10}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 5 \cdot 3}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{- 10 + 15}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.5.2

Addiere $- 10$ und $15$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 {(\frac{5}{3})}^{2}$

Schritt 3.1.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{5^{2}}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 \frac{25}{3^{2}}$

Schritt 3.1.2.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{10}{3}) = - 10 (\frac{25}{9})$

Schritt 3.1.2.9

Multipliziere $- 10 (\frac{25}{9})$ .

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Schritt 3.1.2.9.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{25}{9}$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 10 \cdot 25}{9}$

Schritt 3.1.2.9.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $25$ .

$f (- \frac{10}{3}) = \frac{- 250}{9}$

Schritt 3.1.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{10}{3}) = - \frac{250}{9}$

Schritt 3.1.2.11

Die endgültige Lösung ist $- \frac{250}{9}$ .

$- \frac{250}{9}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{10}{3}$ in $f (x) = 3 x {(x + 5)}^{2}$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (- \frac{10}{3}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{10}{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.4\overline{3}$ .

$f'' (- 3.4\overline{3}) = 18 (- 3.4\overline{3}) + 60$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $18$ mit $- 3.4\overline{3}$ .

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 61.8 + 60$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 61.8$ und $60$ .

$f'' (- 3.4\overline{3}) = - 1.8$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.8$ .

$- 1.8$

Schritt 5.3

Bei $- 3.4\overline{3}$ , die zweite Ableitung ist $- 1.8$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{10}{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{10}{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{10}{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3.2\overline{3}$ .

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 18 (- 3.2\overline{3}) + 60$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $18$ mit $- 3.2\overline{3}$ .

$f'' (- 3.2\overline{3}) = - 58.2 + 60$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 58.2$ und $60$ .

$f'' (- 3.2\overline{3}) = 1.7\overline{9}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.7\overline{9}$ .

$1.7\overline{9}$

Schritt 6.3

Bei $- 3.2\overline{3}$ ist die zweite Ableitung $1.7\overline{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{10}{3}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{10}{3}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$ .

$(- \frac{10}{3}, - \frac{250}{9})$

Schritt 8