Analysis Beispiele

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (y)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ , wobei $f (y) = - y^{2} + 14 y$ und $g (y) = y^{2}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ als $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ um.

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.2.1

Bewege $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.4

Mutltipliziere $y^{4}$ mit $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.6

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.6.1

Bewege $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.1.6.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.9

Multipliziere $y$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.9.1

Bewege $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.9.2

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $y$ .

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Schritt 2.1.3.1.9.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.10

Mutltipliziere $14$ mit $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.12

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1.12.1

Bewege $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.12.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.1.13

Mutltipliziere $14$ mit $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $14 y^{3}$ von $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Schritt 2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $y^{4}$ von $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ und $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Schritt 4

Da $- 28$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 28$ aus dem Integral.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Schritt 7

Da $196$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $196$ aus dem Integral.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\frac{y^{4}}{4}$ bei $7$ und $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $7$ und $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Potenziere $7$ mit $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 9.2.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5

Addiere $\frac{2401}{4}$ und $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.6

Kombiniere $- 28$ und $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $- 28$ mit $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 67228$ und $4$ .

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Schritt 9.2.3.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 67228$ heraus.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.8.2.4

Dividiere $- 16807$ durch $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.9

Potenziere $7$ mit $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Schritt 9.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.2.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Schritt 9.2.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Schritt 9.2.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Schritt 9.2.3.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Schritt 9.2.3.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Schritt 9.2.3.13

Addiere $\frac{343}{3}$ und $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Schritt 9.2.3.14

Kombiniere $196$ und $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Schritt 9.2.3.15

Mutltipliziere $196$ mit $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Schritt 9.2.3.16

Um $- 16807$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Schritt 9.2.3.17

Kombiniere $- 16807$ und $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Schritt 9.2.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Schritt 9.2.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.19.1

Mutltipliziere $- 16807$ mit $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Schritt 9.2.3.19.2

Addiere $- 50421$ und $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Schritt 9.2.3.20

Kombiniere $π$ und $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Schritt 9.2.3.21

Bringe $16807$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{16807 π}{3}$

Dezimalform:

$V = 17600.24924296 \dots$

Schritt 11