Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{2 \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{2 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \tan (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Schritt 3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{3}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 (3 x^{2})}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{15 x^{2}}$

Schritt 4

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $15 x^{2}$ für $x$ auf beiden Seiten nahe $0$ gegen null geht und größer als null ist, steigt die Funktion ohne Grenze an.

$\infty$