Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3}}{e^{4 x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Schritt 1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Schritt 1.3

Da der Exponent $4 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{4 x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} (4 \cdot 1)}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} \cdot 4}$

Schritt 3.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{4 \cdot e^{4 x}}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $4$ mit $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{4 e^{4 x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{4 e^{4 x}}$

Schritt 4.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{4 x}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 e^{4 x})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 e^{4 x})}$

Schritt 4.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{4 x}}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{3}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Schritt 5.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Schritt 5.1.3

Da der Exponent $4 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{4 x}$ $\infty$ an.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 5.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4}$

Schritt 5.3.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4 e^{4 x}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{4 e^{4 x}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 e^{4 x}$ heraus.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 e^{4 x}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}}$

Schritt 7

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 7.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Schritt 7.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Schritt 7.1.3

Da der Exponent $4 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{4 x}$ $\infty$ an.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 7.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 7.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 7.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Schritt 7.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 7.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 7.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 7.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 7.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 7.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4}$

Schritt 7.3.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x}}$

Schritt 9

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{4 x}}$ $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 10.2

Multipliziere $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 4} \cdot 0$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{3}{16} \cdot 0$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{3}{16}$ mit $0$ .

$0$