Analysis Beispiele

$y = \sec^{2} (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{6}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\sec^{2} (x) = 0$

Schritt 1.2

Löse $\sec^{2} (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sec (x) = \pm 0$

Schritt 1.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\sec (x) = 0$

Schritt 1.2.3

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{6}} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $\frac{π}{6}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3.3

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.4.1

Berechne $\tan (x)$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\tan (\frac{π}{6}) - \tan (0)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (0)$

Schritt 3.4.2.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 0$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + 0$

Schritt 3.4.2.4

Addiere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Dezimalform:

$0.57735026 \dots$

Schritt 5