Analysis Beispiele

$u = \sqrt[3]{t} + 6 \sqrt{t^{3}}$

Schritt 1

Faktorisiere $t^{2}$ aus.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[3]{t} + 6 \sqrt{t^{2} t}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[3]{t} + 6 (t \sqrt{t})]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[3]{t} + 6 (t \sqrt{t})$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d u} [6 (t \sqrt{t})]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt[3]{t}] + \frac{d}{d u} [6 (t \sqrt{t})]$

Schritt 2.3

Da $\sqrt[3]{t}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt[3]{t}$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [6 (t \sqrt{t})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d u} [6 (t \sqrt{t})]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{d}{d u} [6 (t \cdot t^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3.2

Multipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$0 + \frac{d}{d u} [6 (t^{1} t^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 + \frac{d}{d u} [6 t^{1 + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{d}{d u} [6 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{d}{d u} [6 t^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Schritt 3.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$0 + \frac{d}{d u} [6 t^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 3.3

Da $6 t^{\frac{3}{2}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $6 t^{\frac{3}{2}}$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4

Addiere $0$ und $0$ .

$0$