Analysis Beispiele

$y = 1 - 25 x^{2}$ , $y = 0$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$1 - 25 x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse $1 - 25 x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 25 x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 25 x^{2} = - 1$ durch $- 25$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 25 x^{2} = - 1$ durch $- 25$ .

$\frac{- 25 x^{2}}{- 25} = \frac{- 1}{- 25}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 25$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 25 x^{2}}{- 25} = \frac{- 1}{- 25}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 25}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Schritt 1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Schritt 1.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 1.2.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{5}$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1}{5}, 0)$

$(- \frac{1}{5}, 0)$

$(\frac{1}{5}, 0)$

$(- \frac{1}{5}, 0)$

Schritt 2

Stelle $1$ und $- 25 x^{2}$ um.

$y = - 25 x^{2} + 1$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 d x - \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} 0 d x$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- \frac{1}{5}$ und $\frac{1}{5}$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 - (0) d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $0$ von $- 25 x^{2} + 1$ .

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} + 1 d x$

Schritt 4.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} - 25 x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Schritt 4.4

Da $- 25$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 25$ aus dem Integral.

$- 25 \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} x^{2} d x + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Schritt 4.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 25 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$- 25 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + \int_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}} d x$

Schritt 4.7

Wende die Konstantenregel an.

$- 25 (\frac{x^{3}}{3}]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}) + x]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 4.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.8.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.8.1.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $\frac{1}{5}$ und $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 ((\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{3}}{3}) + x]_{- \frac{1}{5}}^{\frac{1}{5}}$

Schritt 4.8.1.2

Berechne $x$ bei $\frac{1}{5}$ und $- \frac{1}{5}$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- \frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.8.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{5}$ heraus.

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- (\frac{1}{5}))}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.2

Wende die Produktregel auf $- (\frac{1}{5})$ an.

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - \frac{- {(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} - - \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + 1 \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.6

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}$ mit $1$ .

$- 25 (\frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{{(\frac{1}{5})}^{3}}{3}) + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 25 \frac{{(\frac{1}{5})}^{3} + {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.8

Addiere ${(\frac{1}{5})}^{3}$ und ${(\frac{1}{5})}^{3}$ .

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{1 + 1}{5}$

Schritt 4.8.1.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$- 25 \frac{2 {(\frac{1}{5})}^{3}}{3} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2

Vereinfache.

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Schritt 4.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{5}$ an.

$- 25 \frac{2 \frac{1^{3}}{5^{3}}}{3} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 25 \frac{2 \frac{1}{5^{3}}}{3} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- 25 \frac{2 (\frac{1}{125})}{3} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{125}$ .

$- 25 \frac{\frac{2}{125}}{3} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 25 (\frac{2}{125} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.4

Multipliziere $\frac{2}{125} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.8.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{125}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- 25 \frac{2}{125 \cdot 3} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.4.2

Mutltipliziere $125$ mit $3$ .

$- 25 (\frac{2}{375}) + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 4.8.2.1.5.1

Faktorisiere $25$ aus $- 25$ heraus.

$25 (- 1) \frac{2}{375} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.5.2

Faktorisiere $25$ aus $375$ heraus.

$25 \cdot - 1 \frac{2}{25 \cdot 15} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \cdot - 1 \frac{2}{25 \cdot 15} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{15} + \frac{2}{5}$

Schritt 4.8.2.2

Um $\frac{2}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.8.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Schritt 4.8.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{2}{15} + \frac{2 \cdot 3}{15}$

Schritt 4.8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{15}$

Schritt 4.8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 2 + 6}{15}$

Schritt 4.8.2.5.2

Addiere $- 2$ und $6$ .

$\frac{4}{15}$

Schritt 5