Analysis Beispiele

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 5 u^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ und $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ und $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

Schritt 2.3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 2, 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

${(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$- 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$- 1 + 10 - 2$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $- 1$ und $10$ .

$9 - 2$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$7$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Addiere $0$ und $1$ .

$1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 \cdot 0 - 2$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$1 + 0 - 2$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - 2$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 2, 7), (0, - 1)$

Schritt 5