Analysis Beispiele

$e^{2 x} + e^{- x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 1.1.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 1.1.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

Schritt 2.2

Bringe $- e^{- x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\ln (2 e^{2 x})$ als $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ um.

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Schritt 2.4.2

Zerlege $\ln (e^{2 x})$ durch Herausziehen von $2 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Schritt 2.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

Schritt 2.5

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 2.5.1

Zerlege $\ln (e^{- x})$ durch Herausziehen von $- x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

Schritt 2.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

Schritt 2.6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.6.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $2 x$ und $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

Schritt 2.7

Subtrahiere $\ln (2)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - \ln (2)$

Schritt 2.8

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \ln (2)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - \ln (2)$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Schritt 2.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $e^{2 x} + e^{- x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{\ln (2)}{3}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{\ln (2)}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (2)$ um.

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.3.2

Vereinfache $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Schritt 4.1.2.9

Schreibe $\frac{\ln (2)}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (2)$ um.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

Schritt 4.1.2.10

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (2)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 4.1.2.11

Multipliziere $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

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Schritt 4.1.2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 4.1.2.11.2

Mutltipliziere $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ mit $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 4.1.2.12

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5