Analysis Beispiele

$x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{19}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $19$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{10}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1}$

Schritt 1.1.3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

Schritt 1.1.3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 1 \cdot 9}{9}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 9}{9}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Subtrahiere $9$ von $10$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1

Kombiniere $\frac{19}{9}$ und $x^{\frac{10}{9}}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Schritt 1.1.4.2

Kombiniere $\frac{10}{9}$ und $x^{\frac{1}{9}}$ .

$f' (x) = \frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.52631578, 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- 0.52631578$ .

${(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{9}$ um.

${(0^{9})}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{19} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2.2.1.5

Schreibe $0$ als $0^{9}$ um.

$0 + {(0^{9})}^{\frac{10}{9}}$

Schritt 4.2.2.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Schritt 4.2.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Schritt 4.2.2.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 0^{10}$

Schritt 4.2.2.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 0.52631578, {(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}), (0, 0)$

Schritt 5