Analysis Beispiele

$y = x^{2} \sqrt{9 - x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x}$ als ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(9 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{{(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(9 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.14.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 1}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.14.3.2

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Schritt 1.1.16

Stelle um.

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Schritt 1.1.16.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(9 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(9 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot ({(9 - x)}^{\frac{1}{2}} x)$

Schritt 1.1.16.2

Bewege ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.17

Um $2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18

Kombiniere $2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 2 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21

Multipliziere ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.21.1

Bewege ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x ({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 9)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 9)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22

Vereinfache $4 x {(- x + 9)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 9)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23

Vereinfache.

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Schritt 1.1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x (- x) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.23.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 \cdot (- 1 x \cdot x) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.23.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x)) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 \cdot (- 1 x^{2}) + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 4 x \cdot 9}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 36 x}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 5 x^{2} + 36 x}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.3

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2} + 36 x$ heraus.

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Schritt 1.1.23.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- 5 x) + 36 x}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.3.2

Faktorisiere $x$ aus $36 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- 5 x) + x \cdot 36}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 5 x) + x \cdot 36$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- 5 x + 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- (5 x) + 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.5

Schreibe $36$ als $- 1 (- 36)$ um.

$f' (x) = \frac{x (- (5 x) - 1 \cdot - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (- 36)$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (- (5 x - 36))}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.7

Schreibe $- (5 x - 36)$ als $- 1 (5 x - 36)$ um.

$f' (x) = \frac{x (- 1 (5 x - 36))}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (5 x - 36) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x - 36 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $5 x - 36$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $5 x - 36$ gleich $0$ .

$5 x - 36 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $5 x - 36 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 36$

Schritt 2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 36$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 36$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{36}{5}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{36}{5}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{36}{5}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (5 x - 36) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{36}{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 \sqrt{{(- x + 9)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{x (5 x - 36)}{2 \sqrt{- x + 9}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{x (5 x - 36)}{2 \sqrt{- x + 9}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{- x + 9} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{- x + 9})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x + 9}$ als ${(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(- x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(- x + 9)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (- x + 9) = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (- x) + 4 \cdot 9 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x + 4 \cdot 9 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- 4 x + 36 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 4 x + 36 = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 36$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 36$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 36$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 36}{- 4}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 36}{- 4}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 36}{- 4}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 36$ durch $- 4$ .

$x = 9$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x + 9}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x + 9 < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < - 9$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 9$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x > 9$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \geq 9$

$[9, \infty)$

$x \geq 9$

$[9, \infty)$

Schritt 4

Werte $x^{2} \sqrt{9 - x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} \sqrt{9 - (0)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \sqrt{9 - (0)}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 \sqrt{9 + 0}$

Schritt 4.1.2.3

Addiere $9$ und $0$ .

$0 \sqrt{9}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$0 \sqrt{3^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0 \cdot 3$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{36}{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{36}{5}$ .

${(\frac{36}{5})}^{2} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{36}{5}$ an.

$\frac{36^{2}}{5^{2}} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $36$ mit $2$ .

$\frac{1296}{5^{2}} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{9 - (\frac{36}{5})}$

Schritt 4.2.2.4

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{9 \cdot \frac{5}{5} - \frac{36}{5}}$

Schritt 4.2.2.5

Kombiniere $9$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{9 \cdot 5}{5} - \frac{36}{5}}$

Schritt 4.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{9 \cdot 5 - 36}{5}}$

Schritt 4.2.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.7.1

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{45 - 36}{5}}$

Schritt 4.2.2.7.2

Subtrahiere $36$ von $45$ .

$\frac{1296}{25} \sqrt{\frac{9}{5}}$

Schritt 4.2.2.8

Schreibe $\sqrt{\frac{9}{5}}$ als $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ um.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.9.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1296}{25} (\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 4.2.2.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.11.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2.11.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 4.2.2.11.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 4.2.2.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.2.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.11.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.2.2.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 4.2.2.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.2.2.12

Multipliziere $\frac{1296}{25} \cdot \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 4.2.2.12.1

Mutltipliziere $\frac{1296}{25}$ mit $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{1296 (3 \sqrt{5})}{25 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $1296$ .

$\frac{3888 \sqrt{5}}{25 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.12.3

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$\frac{3888 \sqrt{5}}{125}$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 9$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $9$ .

${(9)}^{2} \sqrt{9 - (9)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$81 \sqrt{9 - (9)}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$81 \sqrt{9 - 9}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$81 \sqrt{0}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$81 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$81 \cdot 0$

Schritt 4.3.2.6

Mutltipliziere $81$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (\frac{36}{5}, \frac{3888 \sqrt{5}}{125}), (9, 0)$

Schritt 5