Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$

Schritt 1

Setze $5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$ gleich $0$ .

$5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{6} - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x^{6}$ heraus.

$5 x (x^{5}) - 105 x^{5} + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $5 x$ aus $- 105 x^{5}$ heraus.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 655 x^{4} - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $5 x$ aus $655 x^{4}$ heraus.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) - 35 x^{3} - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $5 x$ aus $- 35 x^{3}$ heraus.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) - 11760 x^{2} + 27440 x = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $5 x$ aus $- 11760 x^{2}$ heraus.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 27440 x = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $5 x$ aus $27440 x$ heraus.

$5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Schritt 2.1.1.7

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{5}) + 5 x (- 21 x^{4})$ heraus.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Schritt 2.1.1.8

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{5} - 21 x^{4}) + 5 x (131 x^{3})$ heraus.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Schritt 2.1.1.9

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3}) + 5 x (- 7 x^{2})$ heraus.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Schritt 2.1.1.10

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2}) + 5 x (- 2352 x)$ heraus.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x) + 5 x (5488) = 0$

Schritt 2.1.1.11

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x) + 5 x (5488)$ heraus.

$5 x (x^{5} - 21 x^{4} + 131 x^{3} - 7 x^{2} - 2352 x + 5488) = 0$

Schritt 2.1.2

Gruppiere die Terme um.

$5 x (x^{5} - 7 x^{2} - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} - 7 x^{2} - 2352 x$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$5 x (x \cdot x^{4} - 7 x^{2} - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x^{2}$ heraus.

$5 x (x \cdot x^{4} + x (- 7 x) - 2352 x - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- 2352 x$ heraus.

$5 x (x \cdot x^{4} + x (- 7 x) + x \cdot - 2352 - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (- 7 x)$ heraus.

$5 x (x (x^{4} - 7 x) + x \cdot - 2352 - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} - 7 x) + x \cdot - 2352$ heraus.

$5 x (x (x^{4} - 7 x - 2352) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $x^{4} - 7 x - 2352$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2352, \pm 2, \pm 1176, \pm 3, \pm 784, \pm 4, \pm 588, \pm 6, \pm 392, \pm 7, \pm 336, \pm 8, \pm 294, \pm 12, \pm 196, \pm 14, \pm 168, \pm 16, \pm 147, \pm 21, \pm 112, \pm 24, \pm 98, \pm 28, \pm 84, \pm 42, \pm 56, \pm 48, \pm 49$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2352, \pm 2, \pm 1176, \pm 3, \pm 784, \pm 4, \pm 588, \pm 6, \pm 392, \pm 7, \pm 336, \pm 8, \pm 294, \pm 12, \pm 196, \pm 14, \pm 168, \pm 16, \pm 147, \pm 21, \pm 112, \pm 24, \pm 98, \pm 28, \pm 84, \pm 42, \pm 56, \pm 48, \pm 49$

Schritt 2.1.4.1.3

Setze $7$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $7$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.4.1.3.1

Setze $7$ in das Polynom ein.

$7^{4} - 7 \cdot 7 - 2352$

Schritt 2.1.4.1.3.2

Potenziere $7$ mit $4$ .

$2401 - 7 \cdot 7 - 2352$

Schritt 2.1.4.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$2401 - 49 - 2352$

Schritt 2.1.4.1.3.4

Subtrahiere $49$ von $2401$ .

$2352 - 2352$

Schritt 2.1.4.1.3.5

Subtrahiere $2352$ von $2352$ .

$0$

Schritt 2.1.4.1.4

Da $7$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 7 x - 2352}{x - 7}$

Schritt 2.1.4.1.5

Dividiere $x^{4} - 7 x - 2352$ durch $x - 7$ .

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Schritt 2.1.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

Schritt 2.1.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

Schritt 2.1.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 7 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

Schritt 2.1.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{3} - 49 x^{2}$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

Schritt 2.1.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

Schritt 2.1.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $49 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

Schritt 2.1.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

Schritt 2.1.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $49 x^{2} - 343 x$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

Schritt 2.1.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

Schritt 2.1.4.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

Schritt 2.1.4.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $336 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

Schritt 2.1.4.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

Schritt 2.1.4.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $336 x - 2352$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

Schritt 2.1.4.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$49 x$

$336$

$x$

$7$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$2352$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x^{3}$

$49 x^{2}$

$7 x$

$49 x^{2}$

$343 x$

$336 x$

$2352$

$336 x$

$2352$

$0$

Schritt 2.1.4.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336$

Schritt 2.1.4.1.6

Schreibe $x^{4} - 7 x - 2352$ als eine Menge von Faktoren.

$5 x (x ((x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 x (x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) - 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.5.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5488, \pm 2, \pm 2744, \pm 4, \pm 1372, \pm 7, \pm 784, \pm 8, \pm 686, \pm 14, \pm 392, \pm 16, \pm 343, \pm 28, \pm 196, \pm 49, \pm 112, \pm 56, \pm 98$

$q = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

Schritt 2.1.5.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{047619}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5488, \pm 261.\overline{3}, \pm 1829.\overline{3}, \pm 784, \pm 2, \pm 0.\overline{095238}, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.\overline{285714}, \pm 2744, \pm 130.\overline{6}, \pm 914.\overline{6}, \pm 392, \pm 4, \pm 0.\overline{190476}, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{571428}, \pm 1372, \pm 65.\overline{3}, \pm 457.\overline{3}, \pm 196, \pm 7, \pm 2.\overline{3}, \pm 37.\overline{3}, \pm 112, \pm 8, \pm 0.\overline{380952}, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{142857}, \pm 686, \pm 32.\overline{6}, \pm 228.\overline{6}, \pm 98, \pm 14, \pm 4.\overline{6}, \pm 18.\overline{6}, \pm 56, \pm 16, \pm 0.\overline{761904}, \pm 5.\overline{3}, \pm 2.\overline{285714}, \pm 343, \pm 16.\overline{3}, \pm 114.\overline{3}, \pm 49, \pm 28, \pm 9.\overline{3}$

Schritt 2.1.5.3

Setze $7$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $7$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.5.3.1

Setze $7$ in das Polynom ein.

$- 21 \cdot 7^{4} + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

Schritt 2.1.5.3.2

Potenziere $7$ mit $4$ .

$- 21 \cdot 2401 + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

Schritt 2.1.5.3.3

Mutltipliziere $- 21$ mit $2401$ .

$- 50421 + 131 \cdot 7^{3} + 5488$

Schritt 2.1.5.3.4

Potenziere $7$ mit $3$ .

$- 50421 + 131 \cdot 343 + 5488$

Schritt 2.1.5.3.5

Mutltipliziere $131$ mit $343$ .

$- 50421 + 44933 + 5488$

Schritt 2.1.5.3.6

Addiere $- 50421$ und $44933$ .

$- 5488 + 5488$

Schritt 2.1.5.3.7

Addiere $- 5488$ und $5488$ .

$0$

Schritt 2.1.5.4

Da $7$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488}{x - 7}$

Schritt 2.1.5.5

Dividiere $- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ durch $x - 7$ .

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Schritt 2.1.5.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

Schritt 2.1.5.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 21 x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

Schritt 2.1.5.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

Schritt 2.1.5.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 21 x^{4} + 147 x^{3}$

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

Schritt 2.1.5.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

Schritt 2.1.5.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$21 x^{3}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x^{3} + 112 x^{2}$

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

Schritt 2.1.5.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.5.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 112 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.1.5.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

Schritt 2.1.5.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 112 x^{2} + 784 x$

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

Schritt 2.1.5.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

Schritt 2.1.5.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

Schritt 2.1.5.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 784 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

Schritt 2.1.5.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

Schritt 2.1.5.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 784 x + 5488$

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

Schritt 2.1.5.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$21 x^{3}$

$16 x^{2}$

$112 x$

$784$

$x$

$7$

$21 x^{4}$

$131 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5488$

$21 x^{4}$

$147 x^{3}$

$16 x^{3}$

$0 x^{2}$

$16 x^{3}$

$112 x^{2}$

$0 x$

$112 x^{2}$

$784 x$

$5488$

$784 x$

$5488$

$0$

Schritt 2.1.5.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784$

Schritt 2.1.5.6

Schreibe $- 21 x^{4} + 131 x^{3} + 5488$ als eine Menge von Faktoren.

$5 x (x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x - 7$ aus $x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $x - 7$ aus $x (x - 7) (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)$ heraus.

$5 x ((x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $x - 7$ aus $(x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336)) + (x - 7) (- 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)$ heraus.

$5 x ((x - 7) (x (x^{3} + 7 x^{2} + 49 x + 336) - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x ((x - 7) (x \cdot x^{3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.1.8.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x ((x - 7) (x \cdot x^{3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x ((x - 7) (x^{1 + 3} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.8.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + x (7 x^{2}) + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + x (49 x) + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.8.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + 49 x \cdot x + x \cdot 336 - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.8.4

Bringe $336$ auf die linke Seite von $x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x \cdot x^{2} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.9.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.9.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 (x^{2} x) + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 2.1.9.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 (x^{2} x) + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.9.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{2 + 1} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.9.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x \cdot x + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.9.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.9.2.1

Bewege $x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 (x \cdot x) + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x^{2} + 336 \cdot x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

$5 x ((x - 7) (x^{4} + 7 x^{3} + 49 x^{2} + 336 x - 21 x^{3} - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.10

Subtrahiere $21 x^{3}$ von $7 x^{3}$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 49 x^{2} + 336 x - 16 x^{2} - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.11

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $49 x^{2}$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 336 x - 112 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.12

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.12.1

Subtrahiere $112 x$ von $336 x$ .

$5 x ((x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784)) = 0$

Schritt 2.1.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 x (x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0$

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.5

Setze $x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784$ gleich $0$ .

$x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- 14 x^{3} + 224 x + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Faktorisiere $- 14 x$ aus $- 14 x^{3} + 224 x$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1.2.1

Faktorisiere $- 14 x$ aus $- 14 x^{3}$ heraus.

$- 14 x \cdot x^{2} + 224 x + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.2

Faktorisiere $- 14 x$ aus $224 x$ heraus.

$- 14 x \cdot x^{2} - 14 x \cdot - 16 + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.2.3

Faktorisiere $- 14 x$ aus $- 14 x (x^{2}) - 14 x (- 16)$ heraus.

$- 14 x (x^{2} - 16) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 14 x (x^{2} - 4^{2}) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.2.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$- 14 x ((x + 4) (x - 4)) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + x^{4} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + {(x^{2})}^{2} + 33 x^{2} - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + u^{2} + 33 u - 784 = 0$

Schritt 2.5.2.1.7

Faktorisiere $u^{2} + 33 u - 784$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.2.1.7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 784$ und deren Summe $33$ ist.

$- 16, 49$

Schritt 2.5.2.1.7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (u - 16) (u + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x^{2} - 16) (x^{2} + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.9

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.11

Faktorisiere $(x + 4) (x - 4)$ aus $- 14 x (x + 4) (x - 4) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49)$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1.11.1

Faktorisiere $(x + 4) (x - 4)$ aus $- 14 x (x + 4) (x - 4)$ heraus.

$(x + 4) (x - 4) (- 14 x) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.11.2

Faktorisiere $(x + 4) (x - 4)$ aus $(x + 4) (x - 4) (- 14 x) + (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 49)$ heraus.

$(x + 4) (x - 4) (- 14 x + x^{2} + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x + 4) (x - 4) (- 14 u + u^{2} + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.13

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.5.2.1.13.1

Ordne Terme um.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 14 u + 49) = 0$

Schritt 2.5.2.1.13.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 14 u + 7^{2}) = 0$

Schritt 2.5.2.1.13.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 u = 2 \cdot u \cdot 7$

Schritt 2.5.2.1.13.4

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 4) (x - 4) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Schritt 2.5.2.1.13.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 7$ .

$(x + 4) (x - 4) {(u - 7)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2.1.14

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x + 4) (x - 4) {(x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

${(x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2.3

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.3.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.5.2.4

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.4.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.5.2.5

Setze ${(x - 7)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.5.1

Setze ${(x - 7)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2.5.2

Löse ${(x - 7)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.5.2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.5.2.5.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x - 4) {(x - 7)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4, 7$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x (x - 7) (x^{4} - 14 x^{3} + 33 x^{2} + 224 x - 784) = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 7$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = - 4$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 4$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 7$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = - 4$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = 4$ (Vielfachheit von $1$ )

Schritt 3