Analysis Beispiele

$f (t) = t + \cos (t)$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + \cos (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$f' (t) = 1 - \sin (t)$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$

Schritt 1.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \sin (t)]$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \sin (t)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (t)$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Schritt 1.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$0 - \cos (t)$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $\cos (t)$ von $0$ .

$f'' (t) = - \cos (t)$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$- \cos (t)$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \cos (t) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \cos (t) = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (t) = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (t) = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (t)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (t)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $\cos (t)$ durch $1$ .

$\cos (t) = \frac{0}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$\cos (t) = 0$

Schritt 2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $t$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$t = \arccos (0)$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Schritt 2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.7

Ermittele die Periode von $\cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.8

Die Periode der Funktion $\cos (t)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$t = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $\frac{π}{2}$ in $f (t) = t + \cos (t)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $\frac{π}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ in $f (t) = t + \cos (t)$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $1.47079632$ .

$f'' (1.47079632) = - \cos (1.47079632)$

Schritt 5.2

Die endgültige Lösung ist $- \cos (1.47079632)$ .

$- \cos (1.47079632)$

Schritt 5.3

Bei $1.47079632$ , die zweite Ableitung ist $- 0.09983341$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, \frac{π}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{2})$ da $f'' (t) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $1.67079632$ .

$f'' (1.67079632) = - \cos (1.67079632)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- \cos (1.67079632)$ .

$- \cos (1.67079632)$

Schritt 6.3

Bei $1.67079632$ ist die zweite Ableitung $0.09983341$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{π}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{π}{2}, \infty)$ , da $f'' (t) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ .

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Schritt 8