Analysis Beispiele

$\sqrt[3]{x}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt[3]{x}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt[3]{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{3}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Schritt 3.11.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Schritt 3.11.3

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 6.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 7.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Schritt 10.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{2}{0}$

Schritt 10.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (2) = \frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 11.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = \sqrt[3]{x}$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 12