Analysis Beispiele

$P = \frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $P$ nach $t$ ist $P'$ .

$P'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}$ als ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Schritt 3.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{- \frac{t}{10}}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}])$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - \frac{t}{10}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Da $- \frac{1}{10}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{t}{10}$ nach $t$ gleich $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 3.5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{t}{10}}$ und $\frac{1}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (- \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.5.2.3

Kombiniere $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ und $5$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2.4

Kombiniere $\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10}$ und ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.2.5.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 \cdot e^{- \frac{t}{10}} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2.5.2

Bringe ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 3.5.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $5 e^{- \frac{t}{10}}$ heraus.

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}$ heraus.

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \cdot 1$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$P' = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $P'$ durch $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$