Analysis Beispiele

$x = 10 (\sqrt{1 + t^{4}} - 1)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + t^{4}}$ als ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = 10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1))$

Schritt 3

Die Ableitung von $x$ nach $t$ ist $x'$ .

$x'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1)$ nach $t$ gleich $10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$10 (\frac{d}{d t} [{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 1 + t^{4}$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + t^{4}$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + t^{4}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 (\frac{1}{2} {(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(1 + t^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t^{4}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.9

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{4}]) + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.12.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$10 (\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.12.2

Kombiniere $\frac{4}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ und $t^{3}$ .

$10 (\frac{4 t^{3}}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.12.3

Faktorisiere $2$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (\frac{2 (2 t^{3})}{2 {(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 1])$

Schritt 4.14

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$10 (\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Schritt 4.15

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.15.1

Addiere $\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$10 \frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.15.2

Kombiniere $10$ und $\frac{2 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.15.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.15.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(1 + t^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.15.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$