Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = e^{- x} + 1$ und $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 3.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{- x} + 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.7

Addiere $e^{- x} (- x')$ und $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.8

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.8.1

Bewege $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.8.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.9

Vereinfache $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.10.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Schritt 3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Schritt 3.10.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Schritt 3.11

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.3.1.1

Multipliziere $e^{- x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.3.1.1.1

Bewege $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3.1.1.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3.1.2

Vereinfache $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3.1.3

Schreibe $- 1 x'$ als $- x'$ um.

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3.1.5

Schreibe $- 1 (e^{x} x')$ als $- (e^{x} x')$ um.

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.3.2

Subtrahiere $x'$ von $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.5

Faktorisiere $x'$ aus $- e^{x} x' - 2 x'$ heraus.

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Schritt 3.12.5.1

Faktorisiere $x'$ aus $- e^{x} x'$ heraus.

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.5.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 2 x'$ heraus.

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.5.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ heraus.

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.7

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{x}) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.9

Schreibe $- (e^{x} + 2)$ als $- 1 (e^{x} + 2)$ um.

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

Schritt 3.12.11

Stelle die Faktoren in $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ um.

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ um.

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividiere $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ durch $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ um.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Schritt 5.4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Schritt 5.4.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

Schritt 5.5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $x'$ aus $x' e^{x} + 2 x'$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $x'$ aus $x' e^{x}$ heraus.

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $x'$ aus $2 x'$ heraus.

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ heraus.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ durch $e^{x} + 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ durch $e^{x} + 2$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} + 2$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$