Analysis Beispiele

$f' (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u = 8 - x^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 x d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 8 - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 x$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$- 2 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- 2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 8.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\int \sqrt{u} d u$ mit $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Schritt 8.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $8 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = \frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$