Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 x + 3}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \sqrt{2 x + 3}$

Schritt 2

Schreibe ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ als $2 x + 3$ um.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 3}$ als ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = 2 x + 3$

Schritt 2.5

Vereinfache.

$V = 2 x + 3$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{1} 2 x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$V = π (2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 3 x]_{0}^{1})$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 3 x]_{0}^{1})$

Schritt 8.2

Berechne $3 x$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} - 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2} + 0) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.5

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$V = π (2 (\frac{1}{2}) + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{2}{2} + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$V = π (1 + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$V = π (1 + 3 - 3 \cdot 0)$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$V = π (1 + 3 + 0)$

Schritt 8.3.10

Addiere $3$ und $0$ .

$V = π (1 + 3)$

Schritt 8.3.11

Addiere $1$ und $3$ .

$V = π \cdot 4$

Schritt 8.3.12

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 4 π$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = 4 π$

Dezimalform:

$V = 12.56637061 \dots$

Schritt 10