Analysis Beispiele

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{3} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 1.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 1.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 1.1.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 1.1.4.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 1.1.4.2.1

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 1.1.4.2.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Schritt 1.1.4.2.3

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ heraus.

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Schritt 1.1.4.3

Stelle $\cos^{2} (x)$ und $- 1$ um.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 1.1.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

Schritt 1.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Schritt 1.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ heraus.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 1.1.4.7

Schreibe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ als $- (1 - \cos^{2} (x))$ um.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Schritt 1.1.4.8

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Schritt 1.1.4.9

Multipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.9.1

Bewege $\sin^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 1.1.4.9.2

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ .

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Schritt 1.1.4.9.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Schritt 1.1.4.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Schritt 1.1.4.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Schritt 1.1.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 \sin^{3} (x)$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sin^{3} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\sin (x) = 0$

Schritt 2.5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 2.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 2.9

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 2.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.9.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.10

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.11

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $π n$ .

$π n$

Schritt 4

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, π n)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π n - 1$ .

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Schritt 5.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Schritt 5.4

Bei $x = π n - 1$ ist die Ableitung $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, π n)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, π n)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(π n, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π n + 1$ .

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Schritt 6.4

Bei $x = π n + 1$ ist die Ableitung $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(π n, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(π n, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Schritt 8