Analysis Beispiele

$f (x) = x \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $1 + \ln (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (x) = - 1$

Schritt 2.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (x) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- 1}$ um.

$x = e^{- 1}$

Schritt 2.5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 4.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Schritt 6

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, \frac{1}{e})$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{1}{e})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.18393972$ .

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$- 0.69314715$

Schritt 7.4

Bei $x = 0.18393972$ ist die Ableitung $- 0.69314715$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \frac{1}{e})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \frac{1}{e})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{e}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.36787945$ .

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Schritt 9.2

Die endgültige Lösung ist $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Schritt 9.3

Vereinfache.

$1.31326169$

Schritt 9.4

Bei $x = 1.36787945$ ist die Ableitung $1.31326169$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{1}{e}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{e}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{1}{e}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, \frac{1}{e})$

Schritt 11