Analysis Beispiele

$c (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

Schritt 1

Da $t$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Schritt 2

Vereinfache $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ .

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Schritt 2.1

Forme um.

$0 + 0 + 3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Schritt 2.3

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{30}$ .

$3 t e^{- \frac{t}{30}} = c t$

Schritt 3

Subtrahiere $c t$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $t$ aus $3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $t$ aus $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ heraus.

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) - c t = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $t$ aus $- c t$ heraus.

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $t$ aus $t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c)$ heraus.

$t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Schritt 6

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 7

Setze $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ gleich $0$ .

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Schritt 7.2

Löse $3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $c$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ durch $3$ .

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $e^{- \frac{t}{30}}$ durch $1$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = \frac{c}{3}$

Schritt 7.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.2.4.1

Zerlege $\ln (e^{- \frac{t}{30}})$ durch Herausziehen von $- \frac{t}{30}$ aus dem Logarithmus.

$- \frac{t}{30} \ln (e) = \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- \frac{t}{30} \cdot 1 = \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{t}{30} = \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 30$ .

$- 30 (- \frac{t}{30}) = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.6.1

Vereinfache $- 30 (- \frac{t}{30})$ .

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Schritt 7.2.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 7.2.6.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{t}{30}$ in den Zähler.

$- 30 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.6.1.1.2

Faktorisiere $30$ aus $- 30$ heraus.

$30 (- 1) \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 \cdot - 1 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.6.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.6.1.2

Multipliziere.

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Schritt 7.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 7.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$ wahr machen.

$t = 0$

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$