Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x$ und $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 0 - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.2.3

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8

Addiere $2 x + 2$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $- 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x + 1$ aus ${(x + 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2)}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.10.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.10.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 4$ .

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Schritt 2.10.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x + 2 + 0 - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.2.2

Addiere $4 x + 2$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x + 2 - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.2.3

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.2.4

Addiere $0$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$