Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1 d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Schritt 4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arctan (x) + C - \int e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Schritt 8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + \int d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

$\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$