Analysis Beispiele

$f (x) = x \ln (x)$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Schritt 1.1.1.3.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 1.2.3

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = x \ln (x)$ .

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5