Analysis Beispiele

$\ln (x^{4} + 1)$

Schritt 1

Schreibe $\ln (x^{4} + 1)$ als Funktion.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 2.1.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.4.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3})$

Schritt 2.1.2.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 1} \cdot x^{3}$

Schritt 2.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{4}{x^{4} + 1}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 1})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 1) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.4

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.4.3

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $4$ und $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (1 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.4.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.1.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.4.2

Subtrahiere $16 x^{6}$ von $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $- 4 x^{6} + 12 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.5.1

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $- 4 x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5.2

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.5.3

Faktorisiere $4 x^{2}$ aus $4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.7

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.9

Schreibe $- (x^{4} - 3)$ als $- 1 (x^{4} - 3)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{4} - 3 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.3.2.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x^{4} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Setze $x^{4} - 3$ gleich $0$ .

$x^{4} - 3 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $x^{4} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 3$

Schritt 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{3}$

Schritt 3.3.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt[4]{3}$

Schritt 3.3.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt[4]{3}$

Schritt 3.3.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 1)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 1)$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Schritt 4.1.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $\sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt[4]{3}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(\sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Schritt 4.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Schritt 4.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Schritt 4.3.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ ermittelt werden kann, ist $(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Schritt 4.5

Ersetze $- \sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt[4]{3}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- \sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt[4]{3}$ an.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- 1)}^{4} {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Schritt 4.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (1 {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Schritt 4.5.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Schritt 4.5.2.1.4

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Schritt 4.5.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Schritt 4.5.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Schritt 4.5.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Schritt 4.5.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Schritt 4.5.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Schritt 4.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \sqrt[4]{3}$ in $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ ermittelt werden kann, ist $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\sqrt[4]{3}, \ln (4)), (- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \sqrt[4]{3}) \cup (- \sqrt[4]{3}, 0) \cup (0, \sqrt[4]{3}) \cup (\sqrt[4]{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.41607401$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{(4 {(- 1.41607401)}^{2}) ({(- 1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.41607401$ mit $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} (4.02109016 - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $4.02109016$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} \cdot 1.02109016}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.1

Mutltipliziere $1.02109016$ mit $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4.08436066 {(- 1.41607401)}^{2}}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.3.2

Mutltipliziere $4.08436066$ mit ${(- 1.41607401)}^{2}$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1.41607401$ mit $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $4.02109016$ und $1$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $5.02109016$ mit $2$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Dividiere $8.19022798$ durch $25.21134646$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.32486277$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 0.32486277$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Schritt 6.3

Bei $- 1.41607401$ , die zweite Ableitung ist $- 0.32486277$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.658037$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{(4 {(- 0.658037)}^{2}) ({(- 0.658037)}^{4} - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.658037$ mit $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} (0.1875 - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $0.1875$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} \cdot - 2.8125}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 2.8125$ mit $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 11.25 {(- 0.658037)}^{2}}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 11.25$ mit ${(- 0.658037)}^{2}$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 0.658037$ mit $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0.1875$ und $1$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $1.1875$ mit $2$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Dividiere $- 4.87139289$ durch $1.41015625$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3.45450576$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $3.45450576$ .

$3.45450576$

Schritt 7.3

Bei $- 0.658037$ ist die zweite Ableitung $3.45450576$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt[4]{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.658037$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{(4 {(0.658037)}^{2}) ({(0.658037)}^{4} - 3)}{{({(0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.658037$ mit $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot ({0.658037}^{2} (0.1875 - 3))}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $0.1875$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot {0.658037}^{2} \cdot - 2.8125}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 2.8125$ mit $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 11.25 \cdot {0.658037}^{2}}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 11.25$ mit ${0.658037}^{2}$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Potenziere $0.658037$ mit $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0.1875$ und $1$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $1.1875$ mit $2$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Dividiere $- 4.87139289$ durch $1.41015625$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3.45450576$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $3.45450576$ .

$3.45450576$

Schritt 8.3

Bei $0.658037$ ist die zweite Ableitung $3.45450576$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \sqrt[4]{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \sqrt[4]{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.41607401$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{(4 {(1.41607401)}^{2}) ({(1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Potenziere $1.41607401$ mit $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot ({1.41607401}^{2} (4.02109016 - 3))}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $4.02109016$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot {1.41607401}^{2} \cdot 1.02109016}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.3.1

Mutltipliziere $1.02109016$ mit $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4.08436066 \cdot {1.41607401}^{2}}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3.2

Mutltipliziere $4.08436066$ mit ${1.41607401}^{2}$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Potenziere $1.41607401$ mit $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $4.02109016$ und $1$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $5.02109016$ mit $2$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Dividiere $8.19022798$ durch $25.21134646$ .

$f'' (1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.32486277$ .

$f'' (1.41607401) = - 0.32486277$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Schritt 9.3

Bei $1.41607401$ , die zweite Ableitung ist $- 0.32486277$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\sqrt[4]{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ .

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Schritt 11