Analysis Beispiele

$f (x) = {(x - 1)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + 0)$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \cdot 1$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(x - 1)}^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{3})$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 1.2.3

Differenziere.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Schritt 1.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Schritt 1.2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)$

Schritt 1.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} \cdot 1$

Schritt 1.2.3.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 {(x - 1)}^{2}$ .

$12 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere ${(x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $1$ in $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {((1) - 1)}^{4}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = 0^{4}$

Schritt 3.1.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1$ in $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ ermittelt werden kann, ist $(1, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1, 0)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.9$ .

$f'' (0.9) = 12 {((0.9) - 1)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von $0.9$ .

$f'' (0.9) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $- 0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.9) = 12 \cdot 0.01$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (0.9) = 0.12$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.12$ .

$0.12$

Schritt 5.3

Bei $0.9$ ist die zweite Ableitung $0.12$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 1)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 1)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 {((1.1) - 1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot {0.1}^{2}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 0.01$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (1.1) = 0.12$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.12$ .

$0.12$

Schritt 6.3

Bei $1.1$ ist die zweite Ableitung $0.12$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(1, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus nach Minus oder von Minus nach Plus ändert. Es gibt keine Punkte auf dem Graph, die diese Bedingungen erfüllen.

Keine Wendepunkte