Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ um.

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Schritt 1.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3} e^{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $e^{x} (4 x^{3})$ und $4 x^{3} e^{x}$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Addiere $4 x^{3} e^{x}$ und $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Schritt 1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Schritt 1.2.4.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ um.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $x^{4} e^{x}$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $8 x^{3} e^{x}$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $12 x^{2} e^{x}$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $x^{2} e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ heraus.

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $8$ ist.

$2, 6$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.5.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.5.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.7

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, - 6$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $0$ in $f (x) = x^{4} e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Schritt 3.1.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Schritt 3.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 3.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = x^{4} e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 3.3

Ersetze $- 2$ in $f (x) = x^{4} e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

Schritt 3.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2$ in $f (x) = x^{4} e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Schritt 3.5

Ersetze $- 6$ in $f (x) = x^{4} e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

Schritt 3.5.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

Schritt 3.5.2.3

Kombiniere $1296$ und $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

Schritt 3.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1296}{e^{6}}$ .

$\frac{1296}{e^{6}}$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 6$ in $f (x) = x^{4} e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 6)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 6.1$ mit $4$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $1384.5841$ und $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.4

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $2.71828182$ mit $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.6

Dividiere $1384.5841$ durch $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.7

Potenziere $- 6.1$ mit $3$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.8

Mutltipliziere $8$ mit $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.10

Kombiniere $- 1815.848$ und $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.12

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.13

Potenziere $2.71828182$ mit $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.14

Dividiere $1815.848$ durch $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $4.07270686$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.16

Potenziere $- 6.1$ mit $2$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

Schritt 5.2.1.17

Mutltipliziere $12$ mit $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

Schritt 5.2.1.18

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

Schritt 5.2.1.19

Kombiniere $446.52$ und $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

Schritt 5.2.1.20

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

Schritt 5.2.1.21

Potenziere $2.71828182$ mit $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

Schritt 5.2.1.22

Dividiere $446.52$ durch $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $4.07270686$ von $3.10543898$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 0.96726787$ und $1.00148529$ .

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.03421741$ .

$0.03421741$

Schritt 5.3

Bei $- 6.1$ ist die zweite Ableitung $0.03421741$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - 6)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 6)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 6, - 2)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $256$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.4

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.7

Kombiniere $- 512$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.9

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

Schritt 6.2.1.10

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

Schritt 6.2.1.11

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

Schritt 6.2.1.12

Kombiniere $192$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Subtrahiere $512$ von $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

Schritt 6.2.2.2.2

Addiere $- 256$ und $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

Schritt 6.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

Schritt 6.3

Bei $- 4$ , die zweite Ableitung ist $- 1.17220088$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 6, - 2)$

Abfallend im Intervall $(- 6, - 2)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $e^{- 1}$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.7

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

Schritt 7.2.1.10

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

Schritt 7.2.1.11

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

Schritt 7.2.1.12

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

Schritt 7.2.2.2.2

Addiere $- 7$ und $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

Schritt 7.3

Bei $- 1$ ist die zweite Ableitung $1.8393972$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.1$ .

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.1$ mit $4$ .

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $0.0001$ mit $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $0.008$ mit $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Schritt 8.2.1.6

Potenziere $0.1$ mit $2$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

Schritt 8.2.1.7

Mutltipliziere $12$ mit $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

Schritt 8.2.1.8

Mutltipliziere $0.12$ mit $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Addiere $0.00011051$ und $0.00884136$ .

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0.00895188$ und $0.13262051$ .

$f'' (0.1) = 0.14157239$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.14157239$ .

$0.14157239$

Schritt 8.3

Bei $0.1$ ist die zweite Ableitung $0.14157239$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Schritt 10