Analysis Beispiele

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 1.3.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 1.3.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.3.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$