Analysis Beispiele

$y = \frac{5}{x}$ ; $[1, 10]$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{5}{x} = 0$

Schritt 1.2

Löse $\frac{5}{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$5 = 0$

Schritt 1.2.2

Da $5 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x - \int_{1}^{10} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $10$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $\frac{5}{x}$ .

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{1}^{10} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$5 (\ln (| x |)]_{1}^{10})$

Schritt 3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.5.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $10$ und $1$ .

$5 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 3.5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |})$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $10$ ist $10$ .

$5 \ln (\frac{10}{| 1 |})$

Schritt 3.5.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$5 \ln (\frac{10}{1})$

Schritt 3.5.3.3

Dividiere $10$ durch $1$ .

$5 \ln (10)$

Schritt 4

Addiere die Flächen $5 \ln (10)$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache $5 \ln (10)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (10^{5})$

Schritt 4.2

Potenziere $10$ mit $5$ .

$\ln (100000)$

Schritt 5