Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{x}$ , $y = 12 x$ , $y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{3}{x} = 12 x$

Schritt 1.2

Löse $\frac{3}{x} = 12 x$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{x} = 12 x$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{x} = 12 x$ mit $x$ .

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Bewege $x$ .

$3 = 12 (x \cdot x) + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $12 x^{2} = 3$ um.

$12 x^{2} = 3 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 3$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x^{2} = 3$ durch $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 1.2.3.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 (\frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y = 2 (6) \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot 6 \frac{1}{2}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 6$

Schritt 1.4

Setze $\frac{1}{2}$ für $x$ in $y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{6}$

Schritt 1.5

Berechne $y$ bei $x = - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 (- \frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $12 (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y = 12 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 1.5.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$y = 2 (6) \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.5.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = 6 \cdot - 1$

Schritt 1.5.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$y = - 6$

Schritt 1.6

Setze $- \frac{1}{2}$ für $x$ in $y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.6.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Schritt 1.6.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$ .

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Schritt 1.6.2.1

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$y = \frac{1}{3} \cdot (- (\frac{1}{2}))$

Schritt 1.6.2.2

Multipliziere $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 1.6.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Schritt 1.7

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - (\frac{3}{x}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{3}{x}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - \frac{3}{x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 3.4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Schritt 3.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - (3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.10

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.11.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.11.1.1

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $\frac{1}{2}$ und $- \frac{1}{2}$ .

$12 ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.11.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $\frac{1}{2}$ und $- \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{2}$ heraus.

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{1}{2}))}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.2

Wende die Produktregel auf $- (\frac{1}{2})$ an.

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.4

Mutltipliziere ${(\frac{1}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1.3.6.1

Dividiere $1$ durch $2$ .

$12 \frac{{0.5}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.6.2

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$12 \frac{0.25 - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.6.3

Dividiere $1$ durch $2$ .

$12 \frac{0.25 - {0.5}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.6.4

Potenziere $0.5$ mit $2$ .

$12 \frac{0.25 - 1 \cdot 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.25$ .

$12 \frac{0.25 - 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.6.6

Subtrahiere $0.25$ von $0.25$ .

$12 (\frac{0}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.11.1.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$12 \frac{2 \cdot 0}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.1.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 (1)} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 (\frac{0}{1}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.7.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$12 \cdot 0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.8

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.1.3.9

Subtrahiere $3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$ von $0$ .

$- 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Schritt 3.11.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 3 \ln (\frac{| \frac{1}{2} |}{| - \frac{1}{2} |})$

Schritt 3.11.3

Vereinfache.

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Schritt 3.11.3.1

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{| - \frac{1}{2} |})$

Schritt 3.11.3.2

$- \frac{1}{2}$ ist ungefähr $- 0.5$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{2}$ um und entferne den Absolutwert

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.11.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.11.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.11.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \ln (1)$

Schritt 3.11.3.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 3 \cdot 0$

Schritt 3.11.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4