Analysis Beispiele

$- 2 \cos (\sqrt{t}) + \frac{1}{2} t$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \cos (\sqrt{t}) + \frac{1}{2} t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [- 2 \cos (t^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (t^{\frac{1}{2}})$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [\cos (t^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [\cos (t^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $\sin (t^{\frac{1}{2}})$ .

$- 2 (- \frac{t^{- \frac{1}{2}} \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.12

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.14

Kombiniere $2$ und $\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 2.16

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}$