Analysis Beispiele

$e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{x}$

Schritt 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x}$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Schritt 2.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x}$

Schritt 2.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $e^{x} = 0$ .

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Schritt 2.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 2.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.2.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4

Der Graph ist konvex, da die zweite Ableitung positiv ist.

Der Graph ist konvex

Schritt 5