Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \sqrt[3]{x}$

Schritt 2

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$V = \sqrt[3]{x^{2}}$

Schritt 3

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$V = π \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{1}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 5.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Schritt 5.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{5})$

Schritt 5.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 5.2.2.8.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Schritt 5.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 5.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{1})$

Schritt 5.2.2.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - 0)$

Schritt 5.2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} + 0)$

Schritt 5.2.2.10

Addiere $\frac{3}{5}$ und $0$ .

$V = π (\frac{3}{5})$

Schritt 5.2.2.11

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 3}{5}$

Schritt 5.2.2.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{3 π}{5}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{3 π}{5}$

Dezimalform:

$V = 1.88495559 \dots$

Schritt 7