Analysis Beispiele

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} u^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $5$ von $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 2}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.6.2

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{3 {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.6.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 1.1.8

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 1.1.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 1.1.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 1.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- (2 x))$

Schritt 1.1.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- 2 x)$

Schritt 1.1.12.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 \cdot 3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot x$

Schritt 1.1.12.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot x$

Schritt 1.1.12.4

Kombiniere $\frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- 6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 1.1.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ .

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{6 x}{5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{6 x}{5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${(5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}$ neu zu schreiben.

${(5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}$ an.

$5^{5} {({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$3125 {({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3125 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3125 {(9 - x^{2})}^{2} = 0^{5}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$3125 {(9 - x^{2})}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3125 {(3^{2} - x^{2})}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = x$ .

$3125 {((3 + x) (3 - x))}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Wende die Produktregel auf $(3 + x) (3 - x)$ an.

$3125 ({(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2}) = 0$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$3125 {(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(3 + x)}^{2} = 0$

${(3 - x)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.3

Setze ${(3 + x)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.1

Setze ${(3 + x)}^{2}$ gleich $0$ .

${(3 + x)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.3.2

Löse ${(3 + x)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.3.2.1

Setze $3 + x$ gleich $0$ .

$3 + x = 0$

Schritt 3.3.3.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.3.3.4

Setze ${(3 - x)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.1

Setze ${(3 - x)}^{2}$ gleich $0$ .

${(3 - x)}^{2} = 0$

Schritt 3.3.3.4.2

Löse ${(3 - x)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.2.1

Setze $3 - x$ gleich $0$ .

$3 - x = 0$

Schritt 3.3.3.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.4.2.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 3.3.3.4.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.4.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.3.4.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.4.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.3.4.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.3.4.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.4.2.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 3.3.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3125 {(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 4

Werte ${(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(9 - 0)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

${(9 + 0)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $9$ und $0$ .

$9^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

${(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

${(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

${(9 - 9)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

${(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 4.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{3}$

Schritt 4.2.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

${(9 - {(3)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

${(9 - 9)}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$0^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

${(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 4.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Schritt 4.3.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{3}$

Schritt 4.3.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 9^{\frac{3}{5}}), (- 3, 0), (3, 0)$

Schritt 5