Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{- x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3$ und $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.3.3.3

Schreibe $- 1 (x^{2} - 3)$ als $- (x^{2} - 3)$ um.

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Schritt 1.1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Schritt 1.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3))$

Schritt 1.1.3.6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.7

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (- x^{2} + 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Schritt 1.1.4.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Schritt 1.1.4.5

Stelle die Faktoren in $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ um.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- x^{2} e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $2 x e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + 3 e^{- x} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $3 e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x)$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$e^{- x} (- x^{2} + 2 (x) + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$e^{- x} (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$e^{- x} ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$e^{- x} (x (- x - 1) - 3 (- x - 1)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$e^{- x} ((- x - 1) (x - 3)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.5

Setze $- x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $- x - 1$ gleich $0$ .

$- x - 1 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $- x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - 1$

Schritt 2.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 2.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 3$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (4 e^{- (- 2)}) + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{2} + 3 e^{- (- 2)}$

Schritt 5.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 e^{2} + 3 e^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $4 e^{2}$ von $- 4 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{2} + 3 e^{2}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 8 e^{2}$ und $3 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 5 e^{2}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 5 e^{2}$ .

$- 5 e^{2}$

Schritt 5.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- 5 e^{2}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe $- 1 \frac{1}{e}$ als $- \frac{1}{e}$ um.

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.9

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- (1)}$

Schritt 6.2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- 1}$

Schritt 6.2.1.11

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 (\frac{1}{e})$

Schritt 6.2.1.12

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{3}{e}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2 + 3}{e}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f' (1) = \frac{1 + 3}{e}$

Schritt 6.2.2.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (1) = \frac{4}{e}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{e}$ .

$\frac{4}{e}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{4}{e}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - {(4)}^{2} e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- (4)}) + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$f' (4) = - 16 e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = - 16 e^{- 4} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - 16 \frac{1}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.5

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{- 16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- 4} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.9

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.10

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- 4}$

Schritt 7.2.1.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 (\frac{1}{e^{4}})$

Schritt 7.2.1.13

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + \frac{3}{e^{4}}$

Schritt 7.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (4) = \frac{- 16 + 8 + 3}{e^{4}}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.2.1

Addiere $- 16$ und $8$ .

$f' (4) = \frac{- 8 + 3}{e^{4}}$

Schritt 7.2.2.2.2

Addiere $- 8$ und $3$ .

$f' (4) = \frac{- 5}{e^{4}}$

Schritt 7.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (4) = - \frac{5}{e^{4}}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{e^{4}}$ .

$- \frac{5}{e^{4}}$

Schritt 7.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $- \frac{5}{e^{4}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(3, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, 3)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Schritt 9