Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 5 x$ und $g (x) = 25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5 x) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} (5 x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \frac{d}{d x} (x)) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5 \cdot 1) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10

Multipliziere.

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Schritt 2.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 1 (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10.2

Mutltipliziere $x^{2} + 5 x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (x^{2} + 5 x) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.2.12

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 5 x$ .

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 \cdot ((x^{2} + 5 x) x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + (2 x^{2} + 2 (5 x)) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(25 - x^{2}) (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Multipliziere $(25 - x^{2}) (2 x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{25 (2 x + 5) - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x + 5) + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{25 (2 x) + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 25 \cdot 5 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.2

Mutltipliziere $25$ mit $5$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.2.4.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.3.1.2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 5 + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} x + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{1 + 2} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 (x \cdot x))}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (5 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $50 x + 125 - 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.3.2.1

Addiere $- 2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 0 + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2.2

Addiere $50 x + 125 - 5 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 - 5 x^{2} + 10 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.3

Addiere $- 5 x^{2}$ und $10 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{50 x + 125 + 5 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 50 x + 125$ heraus.

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Schritt 2.1.3.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 50 x + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $50 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2}) + 5 (10 x) + 125}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.3

Faktorisiere $5$ aus $125$ heraus.

$f' (x) = \frac{5 x^{2} + 5 (10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{2} + 5 (10 x)$ heraus.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (x^{2} + 10 x) + 5 \cdot 25$ heraus.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.3.5.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 10 x + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 2.1.3.5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f' (x) = \frac{5 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.3.6.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.2

Stelle $- x^{2}$ und $5^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5$ und $b = x$ .

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

Schritt 2.1.3.6.4

Wende die Produktregel auf $(5 + x) (5 - x)$ an.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 5)}^{2}$ und ${(5 + x)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{5 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5}{{(5 - x)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$5 = 0$

Schritt 3.3

Da $5 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(5 - x)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Setze $5 - x$ gleich $0$ .

$5 - x = 0$

Schritt 5.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 5$

Schritt 5.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.2.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{5}{{(5 - x)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{25 - x^{2}}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$ .

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - (4))}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(5 - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f' (4) = \frac{5}{1^{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (4) = 5$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 7.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $5$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 5)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 5)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - (6))}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(5 - 6)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$f' (6) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (6) = \frac{5}{1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (6) = 5$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 8.3

Bei $x = 6$ ist die Ableitung $5$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(5, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(5, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 5), (5, \infty)$

Schritt 10