Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$

Schritt 1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 x^{2}$ nach $x$ gleich $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $28$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Schritt 1.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2$

Schritt 1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [56 x]$ .

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Schritt 1.2.5.1

Da $56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $56 x$ nach $x$ gleich $56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $56$ mit $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.2.6.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 + 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$

Schritt 1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$

Schritt 2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 0.88807315, 1.15259181, 2.73548134$

Schritt 3

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 3.1

Ersetze $- 0.88807315$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.88807315$ .

$f (- 0.88807315) = {(- 0.88807315)}^{5} - 5 {(- 0.88807315)}^{4} - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Potenziere $- 0.88807315$ mit $5$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 5 {(- 0.88807315)}^{4} - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2.1.2

Potenziere $- 0.88807315$ mit $4$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 5 \cdot 0.62200657 - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $0.62200657$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2.1.4

Potenziere $- 0.88807315$ mit $3$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.70040014$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2.1.6

Potenziere $- 0.88807315$ mit $2$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 28 \cdot 0.78867393 - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2.1.7

Mutltipliziere $28$ mit $0.78867393$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 22.08287011 - 2 \cdot - 0.88807315$

Schritt 3.1.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 0.88807315$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 22.08287011 + 1.77614631$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere $3.11003285$ von $- 0.55238734$ .

$f (- 0.88807315) = - 3.6624202 + 0.70040014 + 22.08287011 + 1.77614631$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $- 3.6624202$ und $0.70040014$ .

$f (- 0.88807315) = - 2.96202005 + 22.08287011 + 1.77614631$

Schritt 3.1.2.2.3

Addiere $- 2.96202005$ und $22.08287011$ .

$f (- 0.88807315) = 19.12085006 + 1.77614631$

Schritt 3.1.2.2.4

Addiere $19.12085006$ und $1.77614631$ .

$f (- 0.88807315) = 20.89699637$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $20.89699637$ .

$20.89699637$

Schritt 3.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 0.88807315$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ ermittelt werden kann, ist $(- 0.88807315, 20.89699637)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 0.88807315, 20.89699637)$

Schritt 3.3

Ersetze $1.15259181$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.15259181$ .

$f (1.15259181) = {(1.15259181)}^{5} - 5 {(1.15259181)}^{4} - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Potenziere $1.15259181$ mit $5$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 5 {(1.15259181)}^{4} - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2.1.2

Potenziere $1.15259181$ mit $4$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 5 \cdot 1.76482693 - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1.76482693$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2.1.4

Potenziere $1.15259181$ mit $3$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1 \cdot 1.53118121 + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.53118121$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2.1.6

Potenziere $1.15259181$ mit $2$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 28 \cdot 1.32846789 - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2.1.7

Mutltipliziere $28$ mit $1.32846789$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 37.19710094 - 2 \cdot 1.15259181$

Schritt 3.3.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1.15259181$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 37.19710094 - 2.30518362$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $8.82413468$ von $2.03412508$ .

$f (1.15259181) = - 6.7900096 - 1.53118121 + 37.19710094 - 2.30518362$

Schritt 3.3.2.2.2

Subtrahiere $1.53118121$ von $- 6.7900096$ .

$f (1.15259181) = - 8.32119081 + 37.19710094 - 2.30518362$

Schritt 3.3.2.2.3

Addiere $- 8.32119081$ und $37.19710094$ .

$f (1.15259181) = 28.87591012 - 2.30518362$

Schritt 3.3.2.2.4

Subtrahiere $2.30518362$ von $28.87591012$ .

$f (1.15259181) = 26.57072649$

Schritt 3.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $26.57072649$ .

$26.57072649$

Schritt 3.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $1.15259181$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ ermittelt werden kann, ist $(1.15259181, 26.57072649)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(1.15259181, 26.57072649)$

Schritt 3.5

Ersetze $2.73548134$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 3.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.73548134$ .

$f (2.73548134) = {(2.73548134)}^{5} - 5 {(2.73548134)}^{4} - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Potenziere $2.73548134$ mit $5$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 5 {(2.73548134)}^{4} - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $2.73548134$ mit $4$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 5 \cdot 55.99316649 - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $55.99316649$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2.1.4

Potenziere $2.73548134$ mit $3$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 1 \cdot 20.46921893 + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $20.46921893$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2.1.6

Potenziere $2.73548134$ mit $2$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 28 \cdot 7.48285817 - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2.1.7

Mutltipliziere $28$ mit $7.48285817$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 209.52002894 - 2 \cdot 2.73548134$

Schritt 3.5.2.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2.73548134$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 209.52002894 - 5.47096268$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.5.2.2.1

Subtrahiere $279.96583245$ von $153.16826225$ .

$f (2.73548134) = - 126.79757019 - 20.46921893 + 209.52002894 - 5.47096268$

Schritt 3.5.2.2.2

Subtrahiere $20.46921893$ von $- 126.79757019$ .

$f (2.73548134) = - 147.26678913 + 209.52002894 - 5.47096268$

Schritt 3.5.2.2.3

Addiere $- 147.26678913$ und $209.52002894$ .

$f (2.73548134) = 62.25323981 - 5.47096268$

Schritt 3.5.2.2.4

Subtrahiere $5.47096268$ von $62.25323981$ .

$f (2.73548134) = 56.78227712$

Schritt 3.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $56.78227712$ .

$56.78227712$

Schritt 3.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $2.73548134$ in $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ ermittelt werden kann, ist $(2.73548134, 56.78227712)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(2.73548134, 56.78227712)$

Schritt 3.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- 0.88807315, 20.89699637), (1.15259181, 26.57072649), (2.73548134, 56.78227712)$

Schritt 4

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 0.88807315) \cup (- 0.88807315, 1.15259181) \cup (1.15259181, 2.73548134) \cup (2.73548134, \infty)$

Schritt 5

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 0.88807315)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.98807315$ .

$f'' (- 0.98807315) = 20 {(- 0.98807315)}^{3} - 60 {(- 0.98807315)}^{2} - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 0.98807315$ mit $3$ .

$f'' (- 0.98807315) = 20 \cdot - 0.96464452 - 60 {(- 0.98807315)}^{2} - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 0.96464452$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 60 {(- 0.98807315)}^{2} - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 0.98807315$ mit $2$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 60 \cdot 0.97628856 - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $0.97628856$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 58.57731384 - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 0.98807315$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 58.57731384 + 5.92843894 + 56$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $58.57731384$ von $- 19.29289047$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 77.87020432 + 5.92843894 + 56$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 77.87020432$ und $5.92843894$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 71.94176537 + 56$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 71.94176537$ und $56$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 15.94176537$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 15.94176537$ .

$- 15.94176537$

Schritt 5.3

Bei $- 0.98807315$ , die zweite Ableitung ist $- 15.94176537$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 0.88807315)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 0.88807315)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.88807315, 1.15259181)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.13225932$ .

$f'' (0.13225932) = 20 {(0.13225932)}^{3} - 60 {(0.13225932)}^{2} - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $0.13225932$ mit $3$ .

$f'' (0.13225932) = 20 \cdot 0.00231355 - 60 {(0.13225932)}^{2} - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $0.00231355$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 60 {(0.13225932)}^{2} - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $0.13225932$ mit $2$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 60 \cdot 0.01749253 - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $0.01749253$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 1.0495518 - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $0.13225932$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 1.0495518 - 0.79355597 + 56$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $1.0495518$ von $0.046271$ .

$f'' (0.13225932) = - 1.00328079 - 0.79355597 + 56$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $0.79355597$ von $- 1.00328079$ .

$f'' (0.13225932) = - 1.79683676 + 56$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 1.79683676$ und $56$ .

$f'' (0.13225932) = 54.20316323$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $54.20316323$ .

$54.20316323$

Schritt 6.3

Bei $0.13225932$ ist die zweite Ableitung $54.20316323$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 0.88807315, 1.15259181)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 0.88807315, 1.15259181)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1.15259181, 2.73548134)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.94403657$ .

$f'' (1.94403657) = 20 {(1.94403657)}^{3} - 60 {(1.94403657)}^{2} - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $1.94403657$ mit $3$ .

$f'' (1.94403657) = 20 \cdot 7.34705509 - 60 {(1.94403657)}^{2} - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $7.34705509$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 60 {(1.94403657)}^{2} - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $1.94403657$ mit $2$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 60 \cdot 3.77927821 - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $3.77927821$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 226.75669314 - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $1.94403657$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 226.75669314 - 11.66421947 + 56$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $226.75669314$ von $146.94110197$ .

$f'' (1.94403657) = - 79.81559116 - 11.66421947 + 56$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $11.66421947$ von $- 79.81559116$ .

$f'' (1.94403657) = - 91.47981064 + 56$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $- 91.47981064$ und $56$ .

$f'' (1.94403657) = - 35.47981064$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 35.47981064$ .

$- 35.47981064$

Schritt 7.3

Bei $1.94403657$ , die zweite Ableitung ist $- 35.47981064$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(1.15259181, 2.73548134)$

Abfallend im Intervall $(1.15259181, 2.73548134)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2.73548134, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.83548134$ .

$f'' (2.83548134) = 20 {(2.83548134)}^{3} - 60 {(2.83548134)}^{2} - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.83548134$ mit $3$ .

$f'' (2.83548134) = 20 \cdot 22.79714082 - 60 {(2.83548134)}^{2} - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $22.79714082$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 60 {(2.83548134)}^{2} - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $2.83548134$ mit $2$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 60 \cdot 8.03995444 - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 60$ mit $8.03995444$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 482.39726671 - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2.83548134$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 482.39726671 - 17.01288805 + 56$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $482.39726671$ von $455.94281652$ .

$f'' (2.83548134) = - 26.45445019 - 17.01288805 + 56$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $17.01288805$ von $- 26.45445019$ .

$f'' (2.83548134) = - 43.46733824 + 56$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $- 43.46733824$ und $56$ .

$f'' (2.83548134) = 12.53266175$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $12.53266175$ .

$12.53266175$

Schritt 8.3

Bei $2.83548134$ ist die zweite Ableitung $12.53266175$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(2.73548134, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(2.73548134, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 0.88807315, 20.89699637), (1.15259181, 26.57072649), (2.73548134, 56.78227712)$ .

$(- 0.88807315, 20.89699637), (1.15259181, 26.57072649), (2.73548134, 56.78227712)$

Schritt 10