Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{8}{7}}$ , $y = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{\frac{8}{7}} = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 0, 6$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.3.2

Setze $0$ für $x$ in $y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 6 \cdot 0^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache $6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 1.3.2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.2.3.1.1

Schreibe $0$ als $0^{7}$ um.

$y = 6 {(0^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.3.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Schritt 1.3.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 6 \cdot 0^{1}$

Schritt 1.3.2.3.3

Berechne den Exponenten.

$y = 6 \cdot 0$

Schritt 1.3.2.3.4

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Berechne $y$ bei $x = 6$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.4.2

Setze $6$ für $x$ in $y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 6 \cdot 6^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.4.2.3

Multipliziere $6$ mit ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 1.4.2.3.1.1

Potenziere $6$ mit $1$ .

$y = 6^{1} {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1.4.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = 6^{1 + \frac{1}{7}}$

Schritt 1.4.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 6^{\frac{7}{7} + \frac{1}{7}}$

Schritt 1.4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 6^{\frac{7 + 1}{7}}$

Schritt 1.4.2.3.4

Addiere $7$ und $1$ .

$y = 6^{\frac{8}{7}}$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $6$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - (x^{\frac{8}{7}}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Schritt 3.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{0}^{6} x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{7}}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{7}{8}$ und $x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Schritt 3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{8}{7}}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}]_{0}^{6})$

Schritt 3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.9.1

Kombiniere $\frac{7}{15}$ und $x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Schritt 3.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.2.1

Berechne $\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}$ bei $6$ und $0$ .

$6 ((\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}) - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Schritt 3.9.2.2

Berechne $\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}$ bei $6$ und $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.2.3.1

Schreibe $0$ als $0^{7}$ um.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.9.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{8}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $8$ .

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Schritt 3.9.2.3.6.1

Faktorisiere $8$ aus $0$ heraus.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 (0)}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.6.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} + 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.8

Addiere $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ und $0$ .

$6 \frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.9

Kombiniere $6$ und $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ .

$\frac{6 (7 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.10

Mutltipliziere $7$ mit $6$ .

$\frac{42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.11

Faktorisiere $2$ aus $42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}$ heraus.

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 (4)} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 \cdot 4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.13

Schreibe $0$ als $0^{7}$ um.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{15}{7}}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.9.2.3.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.15.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{15}}{15})$

Schritt 3.9.2.3.16

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0}{15})$

Schritt 3.9.2.3.17

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{15})$

Schritt 3.9.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $15$ .

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Schritt 3.9.2.3.18.1

Faktorisiere $15$ aus $0$ heraus.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 (0)}{15})$

Schritt 3.9.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.18.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Schritt 3.9.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Schritt 3.9.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{1})$

Schritt 3.9.2.3.18.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - 0)$

Schritt 3.9.2.3.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} + 0)$

Schritt 3.9.2.3.20

Addiere $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ und $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Schritt 3.9.2.3.21

Um $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Schritt 3.9.2.3.22

Um $- \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.9.2.3.23

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $60$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.9.2.3.23.1

Mutltipliziere $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.9.2.3.23.2

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.9.2.3.23.3

Mutltipliziere $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{15 \cdot 4}$

Schritt 3.9.2.3.23.4

Mutltipliziere $15$ mit $4$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Schritt 3.9.2.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15 - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Schritt 3.9.2.3.25

Mutltipliziere $15$ mit $21$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Schritt 3.9.2.3.26

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 28 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{60}$

Schritt 4